Le cerveau bayésien (Episode n°13)
Nous allons maintenant aborder le Principe de l’énergie libre (PEL)[1] sous l’angle mathématique. En effet, pour appréhender la complexité de l’énorme apport que les recherches de Friston et al.[2] apportent à la psychiatrie et la psychothérapie en devenir, seule une modélisation mathématique nous permettra de capturer cette complexité nouvelle afin d’en identifier les possibles ressorts thérapeutiques. Je dois reconnaître avoir longtemps hésité à engager l’effort de tenter de comprendre les équations fristoniennes, me contentant d’assimiler ses explications neurophysiologiques davantage à ma portée. Toutefois, il m’a semblé nécessaire, pour profiter au mieux de ces nouvelles découvertes médicales, de ne plus procrastiner devant cette exigence. Dans le texte qui suit, j’ai tenté de clarifier les équations de mesure de l’énergie libre appliquées au déroulement de la prise en charge d’un cas de TSPT selon l’approche thérapeutique qui est la mienne (cf. Prévenir et soigner les troubles du spectre traumatique).
Même si nous avons déjà longuement évoqué ce sujet, rappelons que l’énergie libre est une quantité d’information de surprise, correspondante à la différence entre les prédictions du cerveau concernant ses entrées sensorielles et les sensations qu’il perçoit réellement. En d’autres mots, l’énergie libre mesure l’écart entre le modèle cérébral du monde et les signaux sensoriels que le cerveau reçoit. La fonction du modèle cérébral est de prédire les signaux qui lui parviennent afin d’anticiper l’expérience. C’est ainsi que les systèmes biologiques résistent au désordre, ce qu’avait déjà expliqué Ross Ashby dans sa présentation à la 9ème Conférence de Macy (1952)[3]. Pour le cerveau, s’il y a écart entre la prédiction attendue selon le modèle et les signaux reçus, cela lui est en quelque sorte insupportable car il déteste être surpris et tente tout pour réduire cet écart, donc pour réduire cette énergie libre. Pour effectuer cette réduction, et s’assurer un meilleur confort, le cerveau dispose de deux stratégies possibles, soit remettre à jour son modèle interne, soit modifier les signaux qu’il reçoit. Mettre à jour son modèle signifie réviser ses croyances (priors) pour qu’elles correspondent mieux aux signaux qu’il reçoit.
Si Volodimir ne souffrait pas d’un TSPT[4], il aurait pu se dire que le 1er août est un jour de fête dans un pays en paix et qu’un bruit de déflagration a toutes les chances d’avoir été produit par un feu d’artifice ou par un simple pétard, mais certainement pas par un drone. Si Volodimir se sent malgré tout gêné par ces bruits stridents générés par des pétards, il pourrait aussi se boucher les oreilles ou se diriger vers un espace moins agité afin d’amoindrir le signal auditif de mauvais augure pour ce qui le concerne.
Friston définit l’énergie libre F comme la borne supérieure de la surprise ressentie face à un signal y, qu’il soit visuel, auditif, olfactif, affectant n’importe quel sens extéro- ou intéroceptif. Essayons de clarifier. La surprise est l’expérience de ce qui n’était pas prédit ou du moins mal prédit, en raison d’un prior inadéquat, voire absent.
Revenons à Volodimir, tout heureux de retrouver sa famille et de partager avec elle un jour de fête nationale dans le pays qui les accueille. Si de la musique se fait entendre, rien de plus normal à cette occasion. Aucune surprise, y compris pour notre ami. Son cerveau avait prédit cette ambiance festive. S’il entend un premier pétard, alors qu’il fait encore jour, son cerveau traumatisé risque fort d’en être surpris. Son cerveau s’attendait sans doute à entendre une première déflagration de feu d’artifice à la tombée de la nuit, mais pas encore à cette heure. A cette heure encore précoce de la journée, ce petit événement inattendu pour son cerveau traumatisé aura déclenché une crise panique.
Problématique du calcul de la surprise S
L’écart entre ce qui était attendu / prédit et ce qui est expérimenté / reçu (y) définit ce que Friston nomme l’erreur de prédiction, qui va générer de la surprise (S). Nous avons vu que pour Shannon[5], l’inattendu ou la surprise S se mesure en bits et vaut -log2 de la probabilité P de y, soit S = -log2 P(y). Friston utilise les logarithmes népériens et mesure ainsi la surprise en nats. Cela donne S = -ln P(y), toujours une valeur supérieure ou égale à 0[6]. Comme l’énergie libre F (une quantité potentiellement très grande et toujours positive) est la borne supérieure de la surprise S (donc F toujours supérieure à S), on traduira que F ≥ -ln P(y). F est la somme (Σ) de la quantité qui mesure l’écart (entre la prédiction et l’expérimenté) d’une part, et la surprise (-ln P(y)) d’autre part. Donc F est nécessairement toujours plus grande que la vraie surprise, mais elle est calculable, contrairement à la surprise. Pourquoi la surprise n’est-elle pas calculable ?
Pour calculer la quantité de surprise S d'un signal y, c’est-à-dire pour pouvoir calculer -ln P(y), le cerveau doit d’abord connaître P(y), la probabilité d'observer (de voir ou d’entendre ou de sentir ou même de ressentir) ce signal y. Dans le cas parfaitement simple du jeu à pile ou face, on peut calculer directement la surprise car le signal y n’a que deux issues possibles, soit pile, soit face. Mais, mises à part quelques exceptions de ce type, comme encore le lancer de dés, P(y) n'est pas aisément accessible à la mesure. Pourquoi ? Tout simplement, parce que dans la vie réelle, tout signal yi, comme le son entendu par Volodimir, peut avoir été causé par une multitude de causes zi possibles : un pétard du 1er août, l’explosion d’un drone, un coup de feu, une porte qui claque, un coup de klaxon, un bouchon de champagne et beaucoup d'autres causes encore.
Pour calculer la surprise, le cerveau devrait donc d’abord calculer P(y), ce qui est particulièrement malaisé comme nous venons de l’indiquer. Avant d’aborder cette question, il nous faut revenir à la formule bayésienne que nous avions commencé à expliciter antérieurement[7] et à ses composantes, la Cause représentée par la lettre z et l’Effet par la lettre y :
P(z) = P(Cause) = prior = ce que le cerveau croit et infère/projette afin de recevoir le signal sensoriel y. C’est la croyance de fond, antérieure à l’observation, la croyance a priori, le prior.
P(y) = P(Effet) = probabilité de recevoir le signal sensoriel y.
P(y|z) = P(Effet|Cause) = Vraisemblance = probabilité de recevoir le signal sensoriel y correspondant à la cause z. P(y|z) est la probabilité conditionnelle (| = conditionnelle) d’expérimenter l’effet y étant donné la réalité de la cause z. Elle répond à la question : « Etant donné la réalité de la cause z, quelle est la probabilité que l’effet y soit expérimenté ? »[8].
P(z|y) = P(Cause|Effet) = la croyance postérieure émergeant après la réception des sensations = le posterior = ce que le cerveau croit après avoir intégré le signal y. P(z|y) est la probabilité conditionnelle des causes z étant donné le signal y expérimenté (observé, entendu, etc.). Elle répond à la question : « Etant donné qu’on expérimente y, quelle est la probabilité que la cause soit z ? ».
Formule bayésienne : P(Cause|Effet) × P(Effet) = P(Effet|Cause) × P(Cause)
P(Effet|Cause) × P(Cause)
Donc : P(Cause|Effet) = ----------------------------------
P(Effet)
P(y|z) × P(z)
Soit : P(z|y) = ----------------
P(y)
Sans tenir compte de la prévalence de l’effet, cela donne la simplification suivante :
P(Cause|Effet) = f (P(Effet|Cause) × P(Cause)) avec f pour « fonction de ».
Donc : P(z|y) = f (P(y|z) × P(z))
Toutefois, nous cherchons à calculer P(y) à partir de la formule de Bayes :
A partir de la formule précédente, nous pouvons calculer :
P(y|z) × P(z)
P(y) = ---------------- = f (P(y|z) × P(z))
P(z|y)
Ainsi, pour calculer la surprise S, le cerveau devrait d’abord calculer P(y). Pour ce faire, il devrait faire la somme de toutes les probabilités liées chacune à toutes les causes possibles, soit P(y) = Σ P(y|z) × P(z), ce qui ne lui est pas accessible comme nous allons le voir. P(y|z) est une propriété objective du monde physique, autrement dit dans quelle mesure la cause z produit effectivement le signal y, indépendamment de qui l'entend (Volodimir ou de n’importe quel genevois lambda ne souffrant pas de TSPT). La formule P(y) = Σ P(y|z) × P(z) nous dit que la probabilité d'entendre, par exemple, un certain son y est ainsi égale à la somme Σ des probabilités P qu’un son yi causé par une cause zi advienne, multipliée par le nombre total de causes possibles de génération d’un son comparable P(z). On comprend que cette somme est incalculable.
Approximation de la croyance courante Q(z)
Comme le dénominateur de la formule bayésienne P(y) = Σ P(y|z) × P(z) est incalculable dans cette situation comme on l’a montré plus haut, il en résulte que P(z|y) aussi est incalculable. C'est précisément pourquoi Friston introduit Q(z), une distribution approximative calculable qui remplace P(z|y) incalculable dans les calculs. Dans l’histoire de Volodimir le 1er août à Genève, P(z|y) répondrait à la question « Etant donné ce son particulier de pétard, quelle est la probabilité que la cause soit un drone ? ». La réponse exacte serait très faible (on n’oublie pas que P(y) exprime la réalité, pas le prior), mais incalculable. Q(z) pour Volodimir reste verrouillée sur la cause z = drone, très loin de P(z|y) qui calculerait, si c’était possible, la probabilité que la cause z = pétard festif (la réalité).
La solution que propose Friston est de remplacer ce calcul inaccessible par une approximation. Puisqu'on ne peut pas calculer la vraie distribution des probabilités P(z|y) des causes z de l’effet y, on va construire une approximation Q(z) de cette probabilité P(z|y). Q(z) est ainsi la distribution approximative des causes cachées z, c’est ce que le cerveau de Volodimir calcule effectivement. Quand Q(z) = P(z|y), c’est-à-dire si le modèle du cerveau était parfait, alors on dirait que la divergence entre les distributions de Q(z) et de P(z|y) serait nulle et que dans ce cas F = - ln P(y) exactement. Mais, le plus souvent, les choses ne sont pas aussi simples. Chez notre valeureux Volodimir, son cerveau ne calcule pas la vraie probabilité que le son qu’il entend le 1er août soit un pétard. Non, il calcule une approximation Q(z) biaisée par son prior traumatique. Ce serait une trop grande surprise pour lui, après ce qu’il a vécu dans le Donbass, que ce son y soit associé à un contexte sécure (« pas possible, ce serait trop beau », peut-il penser). L'énergie libre F de son cerveau est chroniquement élevée non pas parce que le monde est objectivement dangereux, mais parce que son approximation Q(z), son modèle interne des causes, est verrouillé sur le pire scénario possible. La thérapie visera précisément à améliorer cette approximation.
Avant d’aller plus loin, mémorisons bien les deux nouvelles composantes introduites (P(z|y) & P(z) ont été introduites plus haut) :
Q(z) = la probabilité que le modèle approximatif (et souvent très loin de la réalité en cas de TSPT) du cerveau attribue à la cause z pour expliquer y. Q(z) représente la croyance actuelle / courante et est une approximation du posterior P(z|y). Q(z) change à chaque inférence idéalement pour se rapprocher de P(z|y) parce que Q(z) intègre aussi, quoique faiblement, des données sensorielles du moment présent. Si le prior P(z) est la cause de la rigidité, Q(z) en est la conséquence. Q(z) peut évoluer mais reste obstinément collée au prior, sauf au prix d’une action thérapeutique particulièrement déterminée.
F mesure l'écart entre ces deux probabilités / distributions portant sur z (pas sur y).
Outils pour le calcul de l’énergie libre F
Nous cherchons à calculer F, c’est-à-dire la somme de la quantité qui mesure l’écart entre la prédiction et l’expérimenté d’une part, et la surprise (- ln P(y)) d’autre part. Pour calculer cet écart, nous devrions calculer P(z|y), mais incalculable comme nous avons vu. Nous allons donc nous y prendre autrement pour calculer F. Pour calculer l’énergie libre F, nous allons faire appel à deux probabilités, la probabilité conjointe ( , = conjointe) P(y,z) que nous allons introduire et la probabilité conditionnelle P(y|z) que nous connaissons déjà. Nous avons déjà mentionné plus haut cette dernière mais ce n’est pas un luxe d’y revenir.
Nous avions écrit que P(y|z) est la probabilité de recevoir le signal sensoriel y correspondant à la cause z. P(y|z) est la probabilité conditionnelle d’expérimenter l’effet y étant donné la réalité de la cause z. Elle répond à la question : « Si z est la vraie cause, quelle est la probabilité d'observer le signal y ? ». P(y|z) mesure la probabilité de y à l'intérieur du « sous-monde » où la cause z est vraie. P(y|z) est une vraisemblance. Cette probabilité est conditionnelle car on prend comme acquis que z s’est produit et on se demande quelle est la probabilité d’entendre ce signal acoustique y (pétard entendu).
La probabilité conjointe P(y,z) répond à une tout autre question : « quelle est la probabilité que le signal y ET la cause z se produisent ensemble? » P(y,z) mesure la coexistence de deux événements dans le « monde entier » des possibilités. Pour Volodimir P(y = pétard entendu, z = drone). C’est ce à quoi le cerveau de Volodimir a accès à travers son modèle interne / son prior.
Ces deux probabilités sont reliées entre elle par les formules P(y|z) = P(y,z) / P(z) ou P(y,z) = P(y|z) × P(z) [9]
Comprenons bien ces probabilités conjointes et conditionnelles et illustrons cette formule avec un exemple que j’espère parlant.
Imaginons une population de 1000 personnes.
La probabilité conjointe P(porte un parapluie,il pleut) répond à la question : Quelle est la proportion des 1000 personnes qui à la fois portent un parapluie ET sont sous la pluie ? Admettons que parmi les 1000 personnes, 200 soient concernées par ces deux éléments conjoints, alors P(y,z) = 0.2.
La probabilité conditionnelle P(porte un parapluie|il pleut) répond à la question : Quelle est la proportion de personnes qui portent un parapluie parmi celles qui sont sous la pluie ? Admettons que parmi les 1000 personnes, 250 personnes sont sous la pluie et que 200 d’entre elles portent un parapluie, alors P(y|z) = 0.8.
La proportion des personnes sous la pluie = 250/1000 = P(z) = 0.25
La probabilité conjointe regarde toute la population (« le monde entier »). La probabilité conditionnelle restreint d'abord la population (« un sous-monde ») à ceux qui satisfont la condition (être sous la pluie), puis calcule la proportion (qui portent un parapluie) à l'intérieur de ce sous-groupe restreint (200/250).
Vérifions :
P(y|z) = P(y,z) / P(z) ou P(y,z) = P(y|z) × P(z)
P(y,z) = P(porte un parapluie,il pleut) = P(porte un parapluie|il pleut) × P(z)
0.2 = 0.8 × 0.25 = 0.2
P(y|z) = P(porte un parapluie|il pleut) = P(porte un parapluie,il pleut) / P(z)
0.8 = 0.2/0.25 = 0.8
Pour Volodimir :
La probabilité conjointe P(pétard, drone) répond à la question : Quelle est la probabilité que le bruit de pétard qu’il entend le 1er août à Genève ait été provoqué par un drone ? Cette probabilité aurait toutefois été plus élevée si l’événement ne s’était pas passé le 1er août mais le 14 juin 2026 à l’occasion de la manif anti-G7 à Genève.
La probabilité conditionnelle P(pétard| drone) répond à la question : Quelle est la probabilité que Volodimir entende un bruit de pétard si la cause était un drone ? Cette probabilité serait extrêmement élevée dans tous les cas, mais au 1er août à Genève c’est infiniment peu probable. Toutefois, c’est à cause de son TSPT que Volodimir va associer fermement un bruit de pétard avec un drone comme unique causalité. Volodimir se trompe car en raison de son TSPT, il ne pondère pas correctement P(drone) qui un 1er août à Genève devrait être extrêmement faible, sinon nulle.
Revenons maintenant à F et son calcul. Friston montre que l’énergie libre F ≥ - ln P(y) comme nous l’avons déjà indiqué plus haut. La borne F de la surprise ou l’énergie libre F est ainsi toujours plus grande que la vraie surprise S, et doit donc comprendre deux composantes : une surprise et quelque chose d’autre (l’écart entre attendu et expérimenté).
Nous allons présenter les 2 formulations de l’énergie libre F proposées par Friston : 1) F = Energie – Entropie et 2) F = Complexité – Précision. Ces deux formulations sont algébriquement équivalentes, comme nous le démontrerons plus loin. Elles donnent le même F, mais leurs termes ne sont pas synonymes.
1ère formulation : F = Energie – Entropie
Introduction
Dans cette première formulation, Friston va reprendre les termes thermodynamiques d'Entropie à Boltzmann (1877) et d'Énergie à Helmholtz (1882)[10]. Ces deux chercheurs ont été d’importants physiciens (même si Helmholtz fut médecin et physiologiste avant de se lancer dans la recherche en physique). Tous deux ont semé les graines de la cybernétique à l’origine des Conférences de Macy, où ont aussi émergé les prémices de la thérapie systémique. Friston va reprendre le vocabulaire de ces deux chercheurs, ainsi que leurs structures mathématiques. Avant Friston, Shannon aussi s’inspirera en particulier du concept d'Entropie de Boltzmann pour définir son concept d'incertitude d'une source d'information en proposant le concept d’énergie libre F (information = réduction de l’incertitude = réduction de l’entropie)[11]. Pour ses calculs, Shannon fera usage des log2 et non des ln comme l’aura fait Boltzmann en son temps et Friston actuellement.
Considérations générales sur les rôles de l’Energie et de l’Entropie
La première formulation exprime l'énergie libre F comme Énergie moins Entropie. Cette formulation connecte le concept d'énergie libre utilisé en théorie de l'information avec les concepts de la thermodynamique que sont l’Énergie et l’Entropie comme nous venons de le mentionner.
Si, comme le propose Friston, l’énergie libre F est la borne supérieure de la surprise S ressentie face à un signal y, on voit clairement que s’il y a justement surprise c’est bien que deux éléments se confrontent, un attendu d’une part et un reçu/parvenu d’autre part, en tout cas deux éléments, séparés par un « écart ». Donc, nécessairement, l'énergie libre F doit comporter deux éléments, un élément augmentant F et un autre diminuant F. Que propose Friston pour les nommer ? Pour l’élément augmentant F, il propose l’ « Énergie », et pour l’élément diminuant F, l’« Entropie ». Donc F = Énergie - Entropie.
L’Énergie mesure la surprise moyenne du cerveau face aux données. Plus le cerveau est surpris par la co-occurrence du signal y et de sa cause z, plus l’Énergie est élevée. C'est bien un terme qui reflète l'écart entre le monde prédit et le monde vécu, une force dispersante qui pousse F vers le haut. Pour notre soldat : l’Énergie est maximale parce que son modèle prédit des conséquences dangereuses qui ne se réalisent pas, donc la surprise est immense. Pour bien comprendre, l'Énergie est le terme de conflit qui mesure l'écart entre ce que le modèle prédit et ce que le monde produit. On pourrait considérer que « conflit » serait un assez bon synonyme d'Énergie dans l’usage qu’en fait Friston. L’Énergie pousse F vers le haut. C'est une force centrifuge qui éloigne le système de son équilibre. En cas de TSPT, l'Énergie est trop élevée car le modèle traumatique génère une surprise massive face aux signaux actuels (loin dans le futur par rapport à l’événement à potentiel traumatique/EPT) de sécurité qui ne confirment pas les prédictions catastrophiques du traumatisé.
Nous verrons que lorsque la thérapie du TSPT évolue favorablement, l’Énergie diminue alors progressivement parce que le cerveau est de moins en moins surpris par la co-occurrence du signal et de sa ou ses causes au fur et à mesure qu’avance le traitement.
L'Entropie joue un rôle opposé à l'Énergie pour expliquer F, puisque maximiser l’Entropie réduit F, sans qu’on puisse dire pour autant qu’elle limite la surprise. On peut dire que l’Entropie réduit F en maintenant le modèle ouvert à l'incertitude. C'est subtil mais important car un modèle à haute Entropie n'est pas moins surpris, il est simplement plus flexible pour absorber la surprise sans catastrophisme. Pour bien comprendre, l’Entropie est le terme de flexibilité qui mesure l'ouverture du modèle à l'incertitude. On pourrait considérer que « flexibilité » serait un assez bon synonyme d’Entropie dans l’usage qu’en fait Friston. L'Entropie tire F vers le bas en empêchant le modèle de se verrouiller sur une seule interprétation. C'est une force centripète qui maintient le système dans un état d'exploration. L'Entropie mesure l'incertitude interne du modèle Q(z), c’est-à-dire dans quelle mesure le cerveau est lui-même incertain de ses propres croyances concernant la cause z de ce qu’il perçoit y. En cas de TSPT, l’Entropie est trop faible car le modèle traumatique est si rigide que toute flexibilité est perdue. La génération d’hypothèses alternatives par rapport à la cause z est devenue impossible. Nous verrons que, dans la première phase d’une thérapie efficace du TSPT, l’Entropie et donc l’incertitude devra d’abord augmenter au prix de davantage de stress induit avant de diminuer plus avant dans la thérapie. Si réduire l’énergie libre équivaut à réduire la surprise inhérente à la violation des prédictions, réduire l’Entropie équivaut à réduire l’énergie libre attendue ou la surprise attendue. L'Entropie est ainsi la part attendue de l’énergie libre.
En cas de TSPT, F est chroniquement élevé parce que le conflit est maximal et la flexibilité minimale. Une thérapie efficace du TSPT consiste simultanément à réduire l'Énergie en mettant à jour les prédictions, et à restaurer l’Entropie en réouvrant l'espace des hypothèses possibles.
En début de thérapie, l’Entropie augmente d’abord normalement car davantage d’incertitude est un passage obligé, d’où le contexte de surprise que nous essayons d’installer à la 1ère consultation si la situation thymique du patient n’est pas trop péjorée[12]. Ensuite, nous continuons à donner la priorité temporelle à l’action sur l’Entropie en faisant usage des techniques d’externalisation et de recadrage[13].
Si Friston nomme Énergie libre F la borne supérieure de la surprise S, alors on peut concevoir que l’Énergie est en quelque sorte la surprise attendue ou la dimension maximalisant l’Énergie libre F, car c’est bien cette 1ère partie de l’équation qui augmente l’Énergie libre F.
Donc, planchons d’abord mathématiquement sur cette dimension d’Énergie, avant de nous attaquer plus loin à l’Entropie.
Energie
Dans le modèle fristonien, l’Énergie mesure à quel point le cerveau, dépositaire d’une distribution approximative de probabilités Q(z) constitutives de son modèle interne, est surpris face à ce qu’il perçoit et ressent conjointement, à savoir le signal y et ses convictions de causalité cachées z. L’Énergie mesure ainsi l’écart entre ce qui est perçu et le modèle qui était prédit, en calculant une moyenne pondérée de sa surprise. Pour notre soldat ukrainien, l’Énergie est très élevée parce que son modèle Q(z), massivement dominé par son prior traumatique, prédit des conséquences dangereuses qui pourtant ne se produisent pas. Il entend le pétard, son modèle prédit une explosion de danger, mais ces prédictions ne se réalisent pas, et donc l’écart est énorme entre l’ « attendu » et le « perçu », la surprise est au zénith. Tout cela maximalise l’Énergie.
Mathématiquement : Énergie = Σ Q(z) × (-ln P(y,z)) = -Σ Q(z) × ln P(y,z)
Avec les composantes (déjà explorées plus haut) :
Q(z) = la probabilité que le modèle approximatif du cerveau attribue à la cause z
P(y,z) = la probabilité conjointe du signal y et de la cause z avec P(y,z) = P(y|z) × P(z)
-ln P(y,z) = la surprise conjointe du signal et de la cause
Σ = la somme sur toutes les causes possibles
Cette formule nous dit que pour chaque cause possible z, on multiplie la probabilité que le modèle inscrit dans le cerveau lui attribue Q(z) par la surprise conjointe du signal et de cette cause -ln P(y,z) pour ensuite sommer (Σ) le tout. C'est la surprise moyenne selon le modèle approximatif, pondérée par ses propres croyances sur les causes. Plus simplement, l’Énergie mesure la surprise face aux données.
Comprenons bien cette probabilité conjointe P(y,z) et son logarithme -ln P(y,z).
Dans l’exemple présenté dans notre précédent blog[14], la probabilité réelle P peut être divisée pour simplifier l’explication par les causes qui nous occupent en priorité (nous oublions la porte qui claque, le bouchon de champagne, etc.) par :
P(pétard, drone) = probabilité que le son soit de type pétard et que la cause soit un drone → très faible
P(pétard, pétard) = probabilité que le son soit de type pétard et que la cause soit un pétard → élevée
Prenons l’exemple de quelqu’un qui tire lui-même un pétard z et en entend directement l’effet sonore y. La probabilité que le son y entendu par celui qui vient de jeter le pétard est quasi de 100%, soit dans ce cas P(y,z) = 1. Plus la combinaison signal-cause est probable, donc plus P(y,z) est grande, donc plus la surprise est petite. Dans ce cas, ln P(y,z) = 0 et donc aussi le calcul de la surprise -ln P(y,z) = 0, donc aucune surprise. Admettons toutefois, en bons scientifiques que vous êtes, mes chers lecteurs, que vous êtes conscients que dans le monde réel rien n’est jamais certain à 100%, et que vous accordiez dans ce cas par exemple une chance d’1/1000 (0.001) à d’autres possibles causes z et que donc votre probabilité « ne soit » que de 999/1000 (0.999). Dans cette possibilité, -ln P(y,z) sera d’un mini poil supérieur à 0 (0.00010005). Tout cela pour nous rappeler que la surprise est nécessairement toujours positive, toujours > ou = 0. Par ailleurs, dans tous les cas, comme pour toute probabilité, la probabilité P(y,z) ne dépassera jamais 100%. Si le son de type pétard entendu, n’est pas causé par celui qui a lancé le pétard mais seulement entendu par le Genevois lambda participant au 1er août, alors au moins un doute sera permis pour ce dernier. Notre Genevois se dira qu’il y aurait autour de 4 chances sur 5, soit P(y,z) = 0.8 et que donc sa surprise devrait être très limitée : -ln P(y,z) = 0.223. Cela pourrait être par exemple un bruit produit par le pot d’échappement d’une moto ou plein d’autres causes encore. On retiendra que cette valeur de -ln P(y,z) est toujours ≥ = 0 et ≤ = 1.
Maintenant que nous comprenons bien le calcul de la surprise conjointe - ln P(y,z), nous allons la multiplier par Q(z), c’est-à-dire par la probabilité que le modèle approximatif du cerveau attribue à la cause z. C'est une pondération car les causes auxquelles le cerveau croit fortement pèsent davantage dans le calcul.
En effet, pour notre soldat Volodimir :
Q(drone) est très élevé → la surprise associée à une causalité du bruit par le drone est très faible
Q(pétard) est très faible → la surprise associée à une causalité du bruit par le pétard est très forte
Ensuite, on effectue la somme sur toutes les causes possibles z, en additionnant les contributions de toutes les causes, chacune en tenant compte de la croyance que le cerveau attribue à chacune de ces causes. Autrement dit, pour chaque cause possible z (pétard, drone, coup de feu, porte qui claque, etc.) on multiplie la probabilité que le modèle Q(z) attribue à cette cause par la surprise que représenterait le fait que cette cause z ait produit ce signal y, et on somme le tout pour toutes les causes possibles.
Donc : Énergie = Σ Q(z) × (-ln P(y,z))
Le résultat de cette mesure de l’Énergie est ainsi la surprise moyenne conjointe pondérée ressentie face au couple signal-cause (y,z) selon le modèle approximatif de la distribution de probabilité causale Q(z).
Pour notre soldat, cette Énergie est élevée parce que son approximation Q(z) attribue une forte probabilité au drone et la probabilité conjointe P(pétard genevois, drone ukrainien) est immense. Son modèle est surpris par l'écart entre le signal réel et ce que sa cause supposée devrait produire.
Pour les calculs de l’énergie libre F, tant avec la première formulation (Énergie & Entropie), qu’avec la seconde (Complexité & Précision), nous utiliserons les données suivantes :Prior P(z) — à l’apparition du TSPT :
Croyance actuelle Q(z) — avant thérapie (au 1er août) :
Croyance actuelle Q(z) — après l’engagement de la surprise en début de thérapie :
Croyance actuelle Q(z) — à la fin du 1er set de consultations :
Prior P(z) — après modification de fin de thérapie (EMDR/PAP) :
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Exemples de calcul et évolution de l’Energie au cours de la thérapie
Nous allons calculer cette Énergie à différents moments pour Volodimir, entre son arrivée en Suisse, la fête du 1er août, le début de sa thérapie, le milieu et la fin de celle-ci.
Calculons d’abord P(y,z), la probabilité conjointe du signal y et de la cause z, d’une part si la cause zi est un drone et d’autre part si la cause zj est un pétard (pour des raisons de simplification pédagogique nous rassemblons sous la cause « pétard » toutes causes possibles d’un bruit de déflagration qui ne s’explique pas par un drone).
La probabilité conjointe P(y,z) = P(y|z) × P(z).
Les probabilités conditionnelles ou vraisemblances P(y|z) : P(pétard entendu|drone) = 0.05 et P(pétard entendu|pétard) = 0.90 (cf. plus haut). Ces probabilités conditionnelles sont fixes car la vraisemblance est stable en raison de son indépendance par rapport à ce que le cerveau croit à un moment donné. Ces probabilités décrivent comment le monde produit des observations selon son propre état (pas celui du cerveau).
Posons aussi les priors P(z) de Volodimir : P(drone) = 0.90 et P(pétard) = 0.10.
On peut maintenant calculer les probabilités conjointes :
P(y,z) = P(y|z) × P(z) :
P(pétard,drone) = P(pétard entendu|drone) × P(drone) : 0.05 × 0.90 = 0.045
P(pétard,pétard) = P(pétard entendu|pétard) × P(pétard) : 0.90 × 0.10 = 0.090
Ces deux valeurs P(y,z) sont fixes. Elles ne changent pas entre avant et après thérapie, exactement comme P(y|z). Elles dépendent du monde objectif, pas des croyances de Volodimir.
Calculons les -ln P(y,z) :
-ln P(pétard, drone) = -ln(0.045) = 3.101
-ln P(pétard, pétard) = -ln(0.090) = 2.408
Ces deux valeurs -ln P(y,z) sont les surprises conjointes. La surprise conjointe du signal avec le drone (3.101) est plus grande que la surprise conjointe avec le pétard (2.408), parce que la co-occurrence pétard-drone est moins probable que la co-occurrence pétard-pétard.
Et maintenant les approximations Q(z) au 1er août : Q(drone) = 0.80 et Q(pétard) = 0.20
Nous avons maintenant toutes les données pour calculer l’Énergie au moment du 1er août lorsque Volodimir entend une déflagration, avant donc que ne commence sa thérapie.
Énergie = Σ Q(z) × (-ln P(y,z))
Pour z = drone :
Q(drone) × (- ln P(pétard, drone)) = 0.80 × 3.101 = 2.481
Pour z = pétard :
Q(pétard) × (- ln P(pétard, pétard)) = 0.20 × 2.408 = 0.482
Énergie = 2.481 + 0.482 = 2.963
Calculons maintenant l’Énergie au cours du 1er set de consultations.
Pour z = drone :
Q(drone) × (- ln P(pétard, drone)) = 0.60 × 3.101 = 1.861
Pour z = pétard :
Q(pétard) × (- ln P(pétard, pétard)) = 0.40 × 2.408 = 0.963
Énergie = 1.861 + 0.963 = 2.824
Calculons maintenant l’Énergie au moment où le patient est prêt pour la dernière étape : Hypnose/EMDR si cas de TSPT simple, éventuellement avec l’appui d’une psychothérapie assistée par psychédélique (PAP)[15] en cas de situation complexe[16].
Pour z = drone :
Q(drone) × (- ln P(pétard, drone)) = 0.05 × 3.101 = 0.155
Pour z = pétard :
Q(pétard) × (- ln P(pétard, pétard)) = 0.95 × 2.408 = 2.288
Énergie = 0.155 + 2.288 = 2.443
Nous constatons que l'Énergie a diminué au cours de la thérapie, passant de 2.963 à 2.443. C’est cohérent car l’Énergie mesure la surprise moyenne du modèle face à la co-occurrence du signal et de ses causes. Plus Q(z) se déplace vers le pétard moins le cerveau est surpris par ce qu'il perçoit.
Après la seconde phase du traitement, après soit la ou les séances d’EMDR-Hypnose pour les TSPT simples, soit après la tentative de PAP en cas de non-réponse à la 1ère approche, il sera possible de modifier le prior P(drone) en profondeur.
Posons maintenant les nouveaux priors post-thérapeutiques P(z) de Volodimir : P(drone) = 0.05 et P(pétard) = 0.95.
On peut maintenant calculer les probabilités conjointes :
P(y,z) = P(y|z) × P(z) :
P(pétard,drone) = P(pétard entendu|drone) × P(drone) : 0.05 × 0.05 = 0.0025
P(pétard,pétard) = P(pétard entendu|pétard) × P(pétard) : 0.90 × 0.95 = 0.855
Calculons les -ln P(y,z) :
-ln P(pétard,drone) = -ln(0.0025) = 5.991
-ln P(pétard,pétard) = -ln(0.855) = 0.157
Pour z = drone : P(drone) × (- ln P(pétard,drone)) = 0.05 × 5.991 = 0.300
Pour z = pétard : P(pétard) × (- ln P(pétard,pétard)) = 0.95 × 0.157 = 0.149
Énergie = 0.300 + 0.149 = 0.449
Nous verrons que contrairement à l’Entropie (ici plus bas), qui augmente en début de thérapie puis diminue, l'Énergie suit une trajectoire uniquement décroissante si le traitement fonctionne.
Lorsque nous aborderons la seconde formulation de F, nous verrons aussi que la Complexité augmente puis diminue, contrairement à l'Énergie qui suit une trajectoire uniquement décroissante si le traitement fonctionne.
Nous avons maintenant bien compris le 1er terme de l’équation (Énergie) du calcul de l’énergie libre F, nous pouvons maintenant passer au second terme, celui de l’Entropie.
Entropie
Si le 1er terme de l’équation de F, l’Énergie, mesure à quel point le modèle Q(z) est en contradiction avec les données, donc générateur de surprise, le second terme, l’Entropie, mesure l'incertitude interne du modèle Q(z). Le système de l’induction active va chercher à minimiser le 1er terme (l’Énergie) et à maximaliser le second (l’Entropie).
Mathématiquement : Entropie = Σ Q(z) × (-ln Q(z)) = - Σ Q(z) × ln Q(z)
Avec les composantes :
Q(z) = la probabilité que le modèle approximatif du cerveau attribue à la cause z
-ln Q(z) = la surprise du modèle face à ses propres croyances
Σ = la somme sur toutes les causes possibles
L'Entropie mesure ici à quel point le modèle approximatif Q(z) est incertain sur les causes du signal y. Un modèle très certain (dont la cause est presque certainement z₁) a une Entropie faible. Un modèle très incertain (dont la cause pourrait être n'importe laquelle de multiples causes) a une Entropie élevée. L'Entropie mesure uniquement l'incertitude interne du modèle approximatif Q(z), dans quelle mesure le cerveau est lui-même incertain de ses propres croyances.
Pour calculer l’Entropie, nous n’avons donc besoin que de connaître Q(z) aux différentes étapes de la prise en charge.
Exemples de calcul et évolution de l’Entropie au cours de la thérapie
Calculons maintenant l’Entropie au moment du 1er août lorsque Volodimir entend une déflagration, avant donc que ne commence sa thérapie.
Entropie = Σ Q(z) × (-ln Q(z))
Pour z = drone :
Q(drone) × (- ln Q(drone)) = 0.80 × (-(-0.223) = 0.178
Pour z = pétard :
Q(pétard) × (- ln Q(pétard)) = 0.20 × (-(-1.609) = 0.322
Entropie = 0.178 + 0.322 = 0.500
Ce niveau initial d’Entropie est faible car l’incertitude interne est modérée avec un Q(drone) encore élevé à 0.80.
Calculons maintenant l’Entropie au cours du 1er set de consultations.
Pour z = drone :
Q(drone) × (- ln Q(drone)) = 0.60 × (-(-0.511) = 0.307
Pour z = pétard :
Q(pétard) × (- ln Q(pétard)) = 0.40 × (-(-0.916) = 0.366
Entropie = 0.307 + 0.366 = 0.673
Calculons maintenant l’Entropie en fin du 1er set de consultations (avant d’engager l’ultime partie : EMDR/hypnose si cas simple et PAP si échec de cette phase en raison de la complexité du cas).
Pour z = drone :
Q(drone) × (- ln Q(drone)) = 0.05 × (-(-2.996) = 0.150
Pour z = pétard :
Q(pétard) × (- ln Q(pétard)) = 0.95 × (-(-0.051) = 0.048
Entropie = 0.150 + 0.048 = 0.198
Nous constatons que l’Entropie atteint un maximum (0.673) d’incertitude au début de la thérapie. Le système de croyance se voit déstabilisé (c’est la fonction voulue de ma stratégie de surprise en début de thérapie). C'est le moment le plus déstabilisant pour le patient, ses certitudes traumatiques s'effritent sans que de nouvelles certitudes ne les aient encore remplacées. A la fin du 1er set de consultations, en particulier lorsque l’alliance thérapeutique est solide, le cerveau a gagné en certitude de sécurité et l’entropie baisse très significativement (0.198). L’incertitude est alors minimale car l’approximation Q(z) est dominée par le pétard (Q(z)=0.95). L’Entropie atteindrait son maximum ([(0.50 × (-(-0.693) = 0.347) × 2] = 0.693) lorsque les croyances seraient également réparties (Q(drone) = Q(pétard) =0.50). Ce serait le point culminant de l’incertitude. Elle devient minimale lorsqu’une cause domine. Si Q(pétard) atteignait 100% (1.0), alors l’Entropie serait nulle.
Nous avons maintenant une idée des deux termes de l’équation F. L'énergie libre F est la différence entre ces deux forces, l’Énergie et l’Entropie, avec Énergie = Σ Q(z) × (-ln P(y,z)) et Entropie = Σ Q(z) × (-ln Q(z)).
Calcul et évolution de l’énergie libre F au cours de la thérapie
Pour calculer F, retranchons le second terme (Entropie) au premier (Énergie), cela nous donne :
F = Σ Q(z) × (-ln P(y,z)) - Σ Q(z) × (-ln Q(z))
Calculons F au moment du 1er août lorsque Volodimir entend une déflagration, avant donc que ne commence sa thérapie.
F = 2.963 - 0.500 = 2.463
Calculons F au cours du 1er set de consultations.
F = 2.824 - 0.673 = 2.151
Calculons F en fin du 1er set de consultations.
F = 2.443 - 0.198 = 2.245
L’Énergie et l’Entropie tirent dans des directions opposées. Minimiser l'Énergie pousse le cerveau vers un modèle qui prédit bien les données, c’est-à-dire un modèle précis, certain, inducteur de peu de surprise à la perception. Maximiser l’Entropie pousse le cerveau vers un modèle qui reste ouvert à l'incertitude, c’est-à-dire qui ne s'enferme pas sur une seule interprétation, qui favorise la flexibilité. Minimiser F, c’est minimiser l'Énergie tout en maximisant en première intention l’Entropie afin de trouver le meilleur compromis entre expliquer les données et rester ouvert à l'incertitude.
Chez Volodimir, F reste donc chroniquement élevée, non pas parce que le monde est dangereux, mais parce qu’il est dominé par un prior traumatique et qu’ainsi le compromis Énergie-Entropie est rompu chez lui. Le modèle prédit systématiquement le pire scénario, générant une Énergie chroniquement élevée bien que le pire ne se réalise pas. Et d’autre part, le terme d'Entropie est trop faible, car le modèle est si certain de son interprétation traumatique qu'il n'explore plus d'autres hypothèses. Toute flexibilité cognitive est perdue. Son cerveau est piégé dans un état de haute Énergie et basse Entropie, précis dans la mauvaise direction, donc rigide dans la pire interprétation. Dans le TSPT : haute Énergie, basse Entropie, donc énergie libre F chroniquement élevée.
Il nous faudra donc passer à une étape plus décisive. Je dis parfois au patient que nous devons encore passer son cerveau au karcher avant de nous débarrasser de ce foutu TSPT qui nous occupe tous les deux. Comme nous l’avons fait plus haut pour l'Énergie, nous pouvons ici aussi calculer quelle sera l’Entropie après la seconde phase du traitement, après soit la ou les séances d’EMDR-Hypnose pour les TSPT simples, soit après la tentative de PAP en cas de non- réponse à la 1ère approche. Cette seconde phase va permettre de modifier le prior P(drone) en profondeur.
Comme P(z) et Q(z) sont maintenant identiques, l’Entropie à la dernière étape de la thérapie reste à 0.198.
Pour z = drone : P(drone) × (- ln P(drone)) = 0.05 × (-(-2.996) = 0.150
Pour z = pétard : P(pétard) × (- ln P(pétard)) = 0.95 × (-(-0.051) = 0.048
Entropie = 0.150 + 0.048 = 0.198
2ème formulation : F = Complexité – Précision
Introduction
Nous présentons maintenant la seconde formulation de l’énergie libre de Friston.
Contrairement à la 1ère formulation du calcul de l’énergie libre, pour cette seconde, Friston utilise ses propres termes (complexity / accuracy). C’est cette seconde formulation qui s’imposera progressivement dans ses publications.
La deuxième formulation exprime l'énergie libre F comme la Complexité retranchée de la Précision.
Complexité
La Complexité est la différence entre Q(z), la croyance courante/ actuelle, ce que l’on « croit » maintenant sur la cause z du signal y (Volodimir croit qu’il s’agit le plus probablement d’un drone après avoir entendu la déflagration) et ce qu’il croyait P(z) avant de recevoir le signal (ce que croyait Volodimir avant d’entendre la déflagration, sa croyance de fond depuis qu’il souffre de TSPT). Ce que l’on peut croire comme cause du signal est une distribution de probabilités sur les causes possibles. Lorsqu’il entend la déflagration, Volodimir peut croire qu’à 80% la cause est un drone Q(cause=drone) = 0.80, un pétard Q(cause=pétard) = 0.15, un coup de feu Q(cause=coup de feu) = 0.3 ou toute autre cause Q(cause= autres) = 0.2. Les croyances de fond P(z) de Volodimir concernant les causes possibles d’une déflagration potentielle pouvaient par exemple être un drone P(cause=drone) = 0.70, un pétard P(cause=pétard) = 0.20, un coup de feu P(cause=coup de feu) = 0.8 ou toute autre cause P(cause= autres) = 0.2.
Pour Volodimir, fraîchement arrivé d’Ukraine et n’ayant pas encore bénéficié d’une prise en charge pour son TSPT, l’ambiance, a priori festive du 1er août, n’a pas été suffisante pour lui faire imaginer une cause significativement différente d’un drone pour expliquer la déflagration qu’il a entendue. Entre son Q(cause=drone) de 0.8 et son P(cause=drone) de 0.7, la différence est minime et insuffisante pour lui faire ressentir une émotion différente de celle qu’il ressent en cas de déflagration depuis que son événement à potentiel traumatique (EPT) s’est transformé en TSPT. Si, par exemple, à la suite des premières interventions à visée thérapeutique, la distribution de probabilités des causes possibles d’une déflagration a évolué vers Q(cause=drone) = 0.40 (nette diminution), un pétard Q(cause=pétard) = 0.55 (nette augmentation), un coup de feu Q(cause=coup de feu) = 0.1 ou toute autre cause Q(cause=autres) = 0.4, alors son Q(z) se sera significativement écarté de son P(z). La Complexité aura alors augmenté, signifiant pour Volodimir un bon début de distanciation de son prior traumatique. La thérapie éloigne Q(z) du prior traumatique P(z). Donc la thérapie dans un premier temps augmente F en augmentant la Complexité.
La Complexité évalue la divergence dite de Kullback-Leibler entre deux distributions, ici celle de la croyance approximative Q(z) et celle du prior P(z). Mathématiquement la Complexité = KL [ Q(z) || P(z) ] = Σ Q(z) × ln Q(z)/P(z). Nous mentionnons ces deux termes pour la raison simple que Friston utilise fréquemment le premier, sans doute pour indiquer que ses propres recherches s’inscrivent dans un continuum historique. Toutefois, pour éviter toute confusion inutile, nous n’y reviendrons pas et garderons comme unique formule de la Complexité = Σ Q(z) × ln Q(z)/P(z).
Retenons toutefois qu’en 1951, l’année de la 8ème conférence de Macy, Kullback et Leibler publient dans Annals of Mathematical Statistics "On Information and Sufficiency", article qui s'appuyait explicitement sur les mesures de l'information de Shannon (de 1948). Cette divergence KL mesure simplement dans quelle mesure nos croyances actuelles s'écartent de nos croyances de fond.
Si la croyance actuelle Q(z) sur la cause z (ex. le drone), après avoir commencé à intégrer le signal actuel y (ex. la déflagration), n’est pas différente de la croyance de fond P(z) (pour Volodimir c’est un drone), antérieure à toute observation du signal présent y, alors Q(z) = P(z). Si la croyance actuelle Q(z) accorde plus de poids à cette cause (ex. le drone) que le prior P(z) ne le faisait, alors le rapport Q(z)/P(z) est supérieur à 1 et donc Q(z) > P(z). Si la croyance actuelle Q(z) accorde moins de poids à cette cause que le prior P(z) ne le faisait, alors le rapport Q(z)/P(z) est inférieur à 1 et donc Q(z) < P(z).
 | : / = divisé (à distinguer de | = conditionnelle). |
Maintenant pour mesurer l’information, on va calculer le ln du rapport Q(z)/P(z). Si Q(z)/P(z) =1, alors ln(Q(z)/P(z)) = 0 ; aucune contribution à la complexité. Si Q(z)/P(z) > 1, alors ln(Q(z)/P(z)) > 0 et donc la croyance a augmenté pour cette cause, ce qui augmente la Complexité. Si, par contre, Q(z)/P(z) < 1, alors ln(Q(z)/P(z)) < 0 (négatif) et donc la croyance a diminué pour cette cause, impactant négativement la Complexité.
Nous allons maintenant pondérer ce logarithme par Q(z), la croyance actuelle pour cette cause zi particulière. Pour ce faire, on multiplie par Q(z) le logarithme ln (Q(z)/P(z)) : Q(z)×ln(Q(z)/P(z)). Cette pondération signifie que ce sont les croyances actuelles Q(z) qui déterminent l'importance de chaque écart dans le calcul final. Une cause à laquelle le cerveau croit fortement maintenant pèse lourd, même si son écart avec le prior est faible. Une cause à laquelle le cerveau ne croit presque plus pèse peu, même si elle a beaucoup changé par rapport au prior P(z). Ensuite, on additionne ces contributions pour toutes les causes possibles Q(zi) (pétard, drone, coup de feu, etc.) : Σ Q(z) × ln(Q(z)/P(z)).
Admettons qu’avant de bénéficier de sa première séance de thérapie, le P(z) de Volodimir pour sa croyance au drone comme cause d’une déflagration était de P(drone) = 0.9 et pour les autres causes P(autres causes) = 0.1 (Voir plus haut l’encadré). Les « autres causes » signifiant toute chose possible qui, contrairement au drone, ne représente pas un éventuel danger mortel. Toutefois, pour des raisons pédagogiques, nous allons réduire l’alternative à la causalité par le drone à l’unique cause du pétard P(pétard) = 0.1, ce qui permettra de réduire le calcul de la somme (Σ) à deux composantes, en lien avec le drone et le pétard, en considérant le pétard comme rassemblant toutes les causes possibles à l’exclusion du drone.
Exemples de calcul et évolution de la Complexité au cours de la thérapie
A la fête du 1er août à laquelle assiste Volodimir, le contexte est significativement différent du Donbass, ce qui change nécessairement un peu la donne, légèrement toutefois, vu la réalité toujours actuelle de son TSPT. Nous avions proposé que la probabilité approximative Q(drone) soit légèrement inférieure : Q(drone) = 0.80 et Q(pétard)) = 0.20.
Calculons maintenant la Complexité au moment du 1er août :
Pour z = drone : Q(drone) × ln(Q(drone)/P(drone)) = 0.80 × ln(0.80/0.90) = 0.80 × ln(0.889) = 0.80 × (-0.118) = -0.094
Pour z = pétard : Q(pétard) × ln(Q(pétard)/P(pétard)) = 0.20 × ln(0.20/0.10) = 0.20 × ln(2.0) = 0.20 × (0.693) = 0.139.
Ensuite, on fait les somme Σ pour les causes :
Complexité = Σ Q(z) × ln(Q(z)/P(z)) = -0.094 + 0.139 = 0.049 (= Complexité au 1er août).
Nous allons maintenant refaire le calcul dans un deuxième temps, à savoir quand a commencé depuis peu la prise en charge thérapeutique de Volodimir, que le diagnostic de TSPT a été établi et que la 1ère consultation a eu lieu ou que le 1er set de consultations est bien en cours, avant de passer à la phase d’exposition traumatique (EMDR-hypnose). A ce moment, et en particulier si l’alliance thérapeutique a permis d’assurer pour le patient un espace ressenti de sécurité significatif, alors son Q(drone) pourrait être déjà descendu à 0.60 et son Q(pétard) serait monté à 0.40.
Pour z = drone : Q(drone) × ln(Q(drone)/P(drone)) = 0.60 × ln(0.60/0.90) = 0.60 × ln(0.667) = 0.60 × (-0.405) = -0.243.
Pour z = pétard : Q(pétard) × ln(Q(pétard)/P(pétard)) = 0.40 × ln(0.40/0.10) = 0.40 × ln(4.0) = 0.40 × 1.386 = 0.554.
De nouveau, on fait les sommes Σ pour les causes :
Complexité = Σ Q(z) × ln(Q(z)/P(z)) = -0.243 + 0.554 = 0.311 (= Complexité à la 1ère étape du traitement).
On peut constater que la Complexité a augmenté et est passée d’une valeur de 0.049 à une valeur de 0.311. Cette augmentation représente le coût cognitif d’avoir décentré la croyance initiale centrée sur le drone comme causalité vers celles liées à d’autres causalités au moins partiellement moins anxiogènes. Plus la thérapie progresse dans le bon sens, plus Q(z) s’éloigne de P(z) et plus la valeur numérique de la Complexité augmente. La Complexité mesure uniquement l’ampleur du changement. Cette Complexité pourrait être aussi augmentée, en cas de traitement inefficace ou non approprié (exemple : débriefing psychologique au décours immédiat d’un EPT[17]. La Complexité ne mesure en aucune manière la positivité d’un changement, mais uniquement le changement. C'est pourquoi la Complexité seule ne suffit pas. C'est le second terme, la Précision, qui détermine si ce changement de croyance est récompensé par une explication plus pertinente des données sensorielles y.
Mais avant d’aller regarder du côté de la Précision, demandons où en serait la Complexité après avoir atteint l’efficacité thérapeutique attendue à la fin de la thérapie, pour autant que celle-ci ait été un succès (disparition de la trilogie symptomatique du TSPT), c’est-à-dire lorsque Q(y) et P(y) se seront fondamentalement rapprochées.
Pour z = drone : Q(drone) × ln(Q(drone)/P(drone)) = 0.05 × ln(0.05/0.90) = 0.05 × ln(0.056) = 0.05 × (-2.882) = -0.144.
Pour z = pétard : Q(pétard) × ln(Q(pétard)/P(pétard)) = 0.95 × ln(0.95/0.10) = 0.95 × ln(9.5) = 0.95 × 2.251 = 2.139.
De nouveau, on fait les somme Σ pour les causes :
Complexité = Σ Q(z) × ln(Q(z)/P(z)) = -0.144 + 2.139 = 1.994 (= Complexité à la fin du 1er set de consultations).
Nous constatons qu’à la fin de la 1ère phase de la thérapie, avant de passer à la phase EMDR-Hypnose, la Complexité aura encore fortement augmenté.
Après la seconde phase du traitement, après soit la ou les séances d’EMDR-Hypnose pour les TSPT simples, soit après la tentative de PAP en cas de non-réponse à la 1ère approche, il sera possible de modifier le prior P(drone) en profondeur.
Posons maintenant les nouveaux priors post-thérapeutiques P(z) de Volodimir : P(drone) = 0.05 et P(pétard) = 0.95.
Calculons maintenant la Complexité au moment du 1er août :
Pour z = drone : Q(drone) × ln(Q(drone)/P(drone)) = 0.05 × ln(0.05/0.05) = 0.05 × ln(1) = 0.05 × 0 = 0
Pour z = pétard : Q(pétard) × ln(Q(pétard)/P(pétard)) = 0.95 × ln(0.95/0.95) = 0.95 × ln(1) = 0.95 × 0 = 0
Ensuite, on fait les somme Σ pour les causes : 0 + 0 = 0
C'est mathématiquement parfaitement cohérent car quand Q(z) = P(z), la divergence KL est nulle. Le cerveau ne s'éloigne plus du tout de son prior et n’a donc plus aucun coût à payer parce que son prior est devenu sa nouvelle croyance. Quand Q(z) = P(z), quand le prior recalibré est identique aux croyances actuelles, alors la Complexité est exactement égale à zéro. C'est la définition fristonienne de la guérison lorsque le prior lui-même est devenu conforme à la réalité, que Q(z) et P(z) coïncident, que la Complexité est nulle et que F est minimale.
Précision
Passons maintenant au second terme de cette seconde formulation fristonienne de l’énergie libre F, la Précision. La Précision est la confiance accordée à la prédiction du signal y. Cette formulation montre que minimiser l'énergie libre F en modifiant les données sensorielles doit augmenter la Précision des prédictions de l'agent qui échantillonnera sélectivement les entrées sensorielles qu'il attend. Donc plus on arrive à augmenter la Précision, plus on réduira F. C'est ce qu'on appelle l'inférence active. La Précision mesure la qualité des prédictions, c’est-à-dire à quel point mes croyances actuelles ΣQ(z) me permettent de prédire correctement ce que j’entends (pour un signal y acoustique) ou ce que je vois (pour un signal y visuel). Une autre façon de dire les choses est que la Précision est la vraisemblance moyenne des données sensorielles dans le cadre du modèle approximatif Q.
Pour calculer la Précision, nous avons besoin d'une donnée que la Complexité n'utilise pas, c’est-à-dire la probabilité de capter ce signal y étant donné chacune de ses possibles causes z : P(y|z). Ensuite, pour chaque cause possible z, on se demande : « Si je crois que la cause est z avec probabilité Q(z), et que la cause z produirait ce signal y avec probabilité P(y|z), est-ce que mon modèle prédit bien ce signal y ? ». Ensuite, on en fait la somme Σ.
Cela donne mathématiquement : la Précision = Σ Q(z) ln P(y|z). La formule mesure à quel point le modèle explique bien les données. Elle est la vraisemblance attendue, c’est-à-dire dans quelle mesure chacune des causes possibles identifiées zi prédit bien le signal y effectivement reçu, soit P(y|z). Nous verrons que seule l'action peut modifier F en augmentation la Précision. L’action n’a pas d’impact sur la Complexité. Celle-ci est le « coût » à payer par le patient pour donner une chance à sa thérapie, c’est-à-dire lui permettre de bénéficier d’une meilleure Précision. Pourquoi ? Parce que l'action peut modifier les données sensorielles y mais non les priors P(z), ni les croyances actualisées Q(z). Pour modifier P(z), il faudra passer par une approche différente (EMDR/Hypnose) que seulement celle de l’exposition réelle (TCC) ou symbolique (celle qui est la nôtre en systémique à travers l’externalisation et le recadrage). Remarquons que y n’intervient pas dans la formule de la Complexité, mais bien seulement dans celle de la Précision.
Nous devrions utiliser P(autres causes non anxiogènes) pour être exhaustif dans le calcul de la Précision, toutefois comme pour le calcul de la Complexité et pour les mêmes raisons pédagogiques, nous allons ici aussi réduire l’alternative à la causalité par le drone à l’unique cause du pétard, ce qui permettra de réduire le calcul de la somme (Σ) à deux composantes, en lien avec le drone et le pétard, en considérant le pétard comme rassemblant toutes les causes possibles à l’exclusion du méchant drone.
Nous allons maintenant calculer la Précision dont la définition est Précision = Σ Q(z) × ln P(y|z).
Nous allons le faire dans diverses circonstances, en commençant par le 1er août, donc avant que n’ait été engagée la thérapie, alors que le prior de causalité de la déflagration P(z) de Volodimir était toujours bien ancré dans son cerveau (P(drone) = 0.90 et P(pétard)) = 0.10). Toutefois, le contexte quand même différent du Donbass, avec le bonheur de retrouver sa femme et ses enfants, change un peu la donne, légèrement toutefois, vu la réalité toujours actuelle du TSPT de notre ami. Nous avions proposé, que la probabilité approximative Q(drone) soit légèrement inférieure : Q(drone) = 0.80 et Q(pétard)) = 0.20.
Après avoir estimé Q(z), nous devons estimer ln P(y|z), donc P(y|z). Rappelons-nous que P(y|z) est une donnée qui ne rentre pas en ligne de compte dans le calcul de la Complexité. P(y|z) est une vraisemblance qui indique dans quelle mesure chaque cause z prédit bien le signal y effectivement reçu.
La probabilité conditionnelle P(pétard entendu|drone comme cause) répond à la question : « quelle est la probabilité qu’on entende un bruit de pétard si la cause en était un drone ? ». Cette donnée n’a donc rien à voir avec ce qui se passe dans le cerveau. Acoustiquement, un pétard de fête nationale et une explosion de drone sont très différents :
P(pétard entendu|cause = drone) = 0.05, car si la cause était vraiment un drone, ce profil acoustique précis de pétard serait très improbable.
P(pétard entendu| cause = pétard) = 0.90, si la cause est un pétard, ce signal est très probable.
Ces valeurs ne changent pas entre avant et après thérapie car elles dépendent de la physique acoustique, pas des croyances du cerveau. C'est précisément ce qui distingue P(y|z) de Q(z).
Exemples de calcul et évolution de la Précision au cours de la thérapie
Maintenant calculons la Précision au moment du 1er août, donc avant le début de la thérapie de Volodimir.
Pour z = drone : Q(drone) × ln P(pétard | drone) = 0.80 × ln(0.05) = 0.80 × (-2.996) = -2.397
Pour z = pétard : Q(pétard) × ln P(pétard | pétard) = 0.20 × ln(0.90) = 0.20 × (-0.105) = -0.021
Précision = (-2.397) + (-0.021) = -2.418
Nous allons maintenant refaire le calcul dans un deuxième temps, à savoir quand a commencé depuis peu la prise en charge thérapeutique de Volodimir, que le diagnostic de TSPT a été établi et que la 1ère consultation a eu lieu ou le 1er set de consultations est bien en cours, avant de passer à la phase suivante (EMDR-hypnose). A ce moment, et en particulier si l’alliance thérapeutique a permis d’assurer pour le patient un espace ressenti de sécurité significatif, Q(drone) pourrait être déjà descendu à 0.60 et ainsi que son Q(pétard) serait monté à 0.40.
Pour z = drone : Q(drone) × ln P(pétard | drone) = 0.60 × ln(0.05) = 0.60 × (-2,996) = -1.797
Pour z = pétard : Q(pétard) × ln P(pétard | pétard) = 0.40 × ln(0.90) = 0.40 × (-0.105) = -0.042
Précision = (-1.797) + (-0.042) = -1.839
Pour terminer, nous allons maintenant calculer la Précision à la fin du 1er set de consultations avant de commencer la ou les séances d’EMDR-Hypnose pour autant que le début de la prise en charge ait apporté au patient le bénéfice escompté. A la fin de cette phase, dans le meilleur des cas, le Q(drone) du patient pourrait être par exemple descendu à 0.05 et son Q(pétard) monté à 0.95. La médecine ne prétend pas atteindre 100% d’efficacité, d’autant plus qu’il n’est pas utile d’oublier par où l’on passe parfois pour passer de la maladie au retour à la santé. Il ne s’agit pas d’oublier ce que la vie nous a fait traverser, mais de mettre toutes ces choses dans la bonne mémoire, c’est-à-dire l’hippocampico-corticale, dépositaire de la mémoire épisodique, celle dépositaire de notre compétence de temporalité et donc de causalité. Pour un patient, se guérir d’un TSPT consiste à troquer sa mémoire amygdalienne, purement émotionnelle, inaccessible à la temporalité, contre l’hippocampico-corticale, libérée des émotions négatives ayant perdu leur efficacité et donc leur légitimité à distance de l’événement à potentiel traumatique (EPT).
Mais assez bavardé, faisons ce calcul :
Pour z = drone : Q(drone) × ln P(pétard | drone) = 0.05 × ln(0.05) = 0.05 × (-2,996) = -0.150
Pour z = pétard : Q(pétard) × ln P(pétard | pétard) = 0.95 × ln(0.90) = 0.95 × (-0.105) = -0.100
Précision = (-0.150) + (-0.100) = -0.250
On constate qu’entre la fête du 1er août, le début de la thérapie et la fin efficace de celle-ci, la Précision s’est beaucoup améliorée, passant de -2.418 à -1.839 à -0.250, donc presque à 0.
Le cerveau minimise F en trouvant le meilleur compromis entre ces deux exigences contradictoires : être précis sans être rigide, être certain sans ignorer les données.
Suite à la dernière phase thérapeutique (EMDR/Hypnose ou EMDR/PAP), comme Q(drone) aura déjà rejoint P(drone) attendu, soit 0.05 et que donc aussi Q(pétard) aura par conséquent rejoint P(pétard) attendu, soit 0.95, la Précision n’aura plus bougé et reste en l’état atteint lors de la précédente étape de la thérapie, soit Précision = 0.250.
Calcul et évolution de l’énergie libre F au cours de la thérapie
Donc, si F = Complexité – Précision, cela nous donne :
Au 1er août : 0.049 - (-2.418) = 2.418
Au tout début de la thérapie : 0.154 – (-2.119) = 2.273
C’est un moment délicat car la complexité monte très fortement alors que l’on gagne très peu en précision. Le risque d’abandon est élevé. L’alliance thérapeutique est le seul garde-fou permettant de sauver la thérapie. Le coût de complexité précède le bénéfice de précision.
Au début de la thérapie : 0.311 – (-1.839) = 2.150
A la fin du 1er set de la thérapie : 1.994 – (-0.250) = 2.244
Que constatons-nous ? En fin de thérapie, l’énergie libre F est plus basse (2.244) que ce qu’elle était avant le début de la thérapie (2.418), mais non pas radicalement plus basse. La thérapie agit fondamentalement sur la Précision, dont le pourquoi a été expliqué plus haut, mais ce gain massif de Précision, on est passé de -2.418 à -0.250 (donc presqu’à rien), s’est réalisé au prix d’une forte augmentation de Complexité, c’est le coût de s'éloigner du prior traumatique. La question est de se demander si la précision gagnée compense la complexité ajoutée, si le patient commence à tolérer la mise à jour de son modèle ou s'il reste verrouillé à son prior traumatique.
La thérapie aura permis de modifier Q(z) en profondeur, condition expérimentale pour modifier à plus ou moins court terme le prior P(z). C’est l’expérience de la tranquillisation post-traitement (disparition de la triade symptomatique du TSPT) qui permet progressivement le shift entre un prior anxiogène vers un a posteriori (posterior) de sécurité. L’évolution attendue sera le passage progressif du prior initial P(drone) = 0.90 à un posterior P(drone) = entre 0.05 et 0.15. Ce n’est pas un objectif d’arriver à tout prix à un posterior P(drone) = 0 car l’espèce humaine ne survivra que si elle n’oublie jamais que la guerre est mortelle.
Tableau 1 : Comparaison des résultats obtenus selon les phases de la prise en charge et pour les 2 formulations de F.
Phase | Énergie | Entropie | F | Complexité | Précision | F |
1er août | 2.963 | 0.500 | 2.463 | 0.049 | -2.418 | 2.467 |
1ère consulte | 2.824 | 0.673 | 2.151 | 0.311 | -1.839 | 2.150 |
Fin 1er set | 2.443 | 0.198 | 2.245 | 1.994 | -0.250 | 2.244 |
Fin de ttt | 0.449 | 0.198 | 0.251 | 0.000 | -0.250 | 0.250 |
Nous constatons que si les équations Energie – Entropie et Complexité - Précision sont construites différemment et que leurs termes ne sont en rien synonymes, leurs résultats F sont identiques (les petites différences sont dues aux arrondis des calculs).
A la fin du 1er set, si tout s’est bien passé jusque-là et que Q(drone) est devenu davantage conforme à la réalité (0.05), on peut parler de rémission. Toutefois, la dernière étape est nécessaire pour se donner toutes les chances de guérison. C’est réellement cette dernière étape qui assure la réduction drastique de l’énergie libre. Ce sera le rôle de la ou des consultations hypnose/EMDR ou sinon celle(s) de la PAP pour atteindre cet objectif.
On peut encore se demander pourquoi, alors qu’il y a guérison, l’énergie libre n’est pas réduite à zéro. Le résidu correspond exactement à – Précision = 0.250. Ce résidu est incompressible parce qu’il témoigne de l’incertitude irréductible du monde réel. Même un cerveau parfaitement calibré ne peut pas prédire avec une absolue certitude quelle cause z correspond à quel effet y.
Pour finaliser l’exercice, montrons encore l’équivalence algébrique des deux formulations de l’énergie libre F :
F = Energie – Entropie | F = Complexité – Précision | ||
Energie | Entropie | Complexité | Précision |
Σ Q(z) × (-ln P(y,z)) | Σ Q(z) × (-ln Q(z)) | Σ Q(z) × ln(Q(z)/P(z)) | Σ Q(z) × ln P(y|z) |
F = Σ Q(z) × (-ln P(y,z)) - Σ Q(z) × (-ln Q(z)) | F = Σ Q(z) × ln(Q(z)/P(z)) - Σ Q(z) × ln P(y|z) | ||
F = Σ Q(z) × (-ln P(y,z) + (ln Q(z)) | F = Σ Q(z) × (ln(Q(z)/P(z)) - ln P(y|z)) | ||
F = Σ Q(z) × ln (Q(z) / P(y,z)) | F = Σ Q(z) × (ln(Q(z)/(P(z) × P(y|z))) | ||
Nous avons vu plus haut comment se relient entre elles la probabilité conditionnelle P(y|z) et la probabilité conjointe P(y,z) :
P(y|z) = P(y,z) / P(z) ou P(y,z) = P(y|z) × P(z)
P(y|z) est la probabilité conditionnelle de y sachant z. Cette probabilité est la proportion des cas où y et z se produisent ensemble P(y,z), parmi tous les cas où z se produit.
Cette formule P(y|z) × P(z) = P(y,z) découle directement de la définition de la probabilité conditionnelle.
On a donc Q(z) / P(y,z) = (Q(z)/(P(z) × P(y|z))
Donc les deux formulations de F sont algébriquement équivalentes (CQFD).
Notes :
[1] Quand nous mentionnons le concept d’énergie libre nous signifions « énergie libre variationnelle » pour le distinguer du concept d’ « énergie libre thermodynamique » malgré leur équivalence mathématique. Rappelons que l’énergie libre variationnelle se calcule en bits ou en nats et la thermodynamique en joules.
[2] Friston KJ a écrit de très nombreux articles avec d’autres chercheurs (800 articles répertoriés sur Pubmed/Medline). J’en cite ici quelques-uns qui ont particulièrement retenu mon attention. Le tutoriel de Smith R et al. m’a été particulièrement utile pour mieux comprendre les équations fristoniennes.
Friston K (2009). The free-energy principle: A rough guide to the brain. Trends Cogn. Sci. 13, 293-301.
Kirchhoff M, Parr T, Palacios E, Friston K & Kiverstein J. (2018), The Markov blankets of life: autonomy, active inference and the free energy principle. JR Soc interface.
Friston K, Kilner J & Harrison L (2006), A free energy principle for the brain. Journal of Physiology. Paris, 100, 70–87.
Friston K (2010). The free-energy principle: a unified brain theory? Nature Reviews Neuroscience, 11, 127–138.
Peters A, McEwen B & Friston K (2017), Uncertainty and stress : Why it causes diseases and how is mastered by the brain. Prog neurobiol., 156 : 164-188.
Ramstead M, Friston K & Hipolito I (2020), Is the Free-Energy Principle a Formal Theory of Semantics? From Variational Density Dynamics to Neural and Phenotypic Representations. Entropie.
Smith R, Friston K & White C (2022), A step by step tutorial of active inference and its application to empirical data. J Math Psychol.
[6] - ln P(y) est une valeur positive puisque P(y) est entre 0 et 1 et que -ln P(y) est l’opposé de ln P(y). En absence de surprise, lorsque la probabilité est maximale, P(y)=1 et donc le ln de 1 = 0. Si la probabilité est infinitésimale, par exemple si y est de 1 chance sur 1 million, alors ln P(y) = ln 0,000001 = -13.8 et donc - ln P(y) = 13.8, ce qui signifie une surprise S élevée.
[8] Gardons bien à l’esprit que les probabilités complémentaires P(y|z) ne sont pas complémentaires entre elles, ce qui signifie que, par exemple, la somme P(pétard|drone) + P(pétard|pétard) n’est pas égale à 1. Comprenons bien pourquoi. P(y|z) est une probabilité conditionnelle sur z et est fixée une fois z postulée. Exemples :
P(pétard entendu|drone) = 0.05 signifie : "si la cause est un drone (z), la probabilité d'entendre exactement ce signal (y) de pétard est de 5%.
P(pétard entendu|pétard) = 0.90 signifie : "si la cause est un pétard (z), la probabilité d'entendre exactement ce signal (y) de pétard est de 90%."
Ces deux probabilités répondent à des questions différentes comme elles conditionnent sur des causes différentes. Elles n'ont donc aucune raison de sommer à 1 entre elles.
Par contre, certaines probabilités complémentaires peuvent être complémentaires entre elles, lorsqu’elles conditionnent sur une même cause. Exemples :
[P(pétard entendu|drone) = 0.05 + P(autre son entendu|drone) = 0.95] = 1
[P(pétard entendu|pétard) = 0.90 + P(autre son entendu|pétard) = 0.10] = 1
[9] Rapport entre la formule de la probabilité conditionnelle et la formule de Bayes :
La formule à P(y,z) = P(z) × P(y|z) est déductible de la formule bayésienne P(z|y) × P(y) = P(y|z) × P(z) que nous connaissons bien (Le cerveau bayésien, épisodes n°1, 2 et 5).
Comment passe-t-on de cette formule à P(y,z) = P(z) × P(y|z) ?
On applique la même définition de la probabilité conditionnelle, mais cette fois dans l’autre sens, c’est-à-dire la probabilité conditionnelle de z sachant y, donc : P(y,z) = P(z|y) × P(y)
Ces 2 formules valent chacune P(y,z), on en conclut que P(z|y) × P(y) = P(y|z) × P(z), soit notre formule de Bayes.
[10] En physique, les systèmes à l'équilibre minimisent leur énergie libre F de Helmholtz. Un gaz se détend jusqu'à atteindre l'état qui minimise F, c’est-à-dire l'état le plus probable compte tenu des contraintes du système. Friston explique que le cerveau fait exactement la même chose. Il est un système qui minimise son énergie libre, mais cette énergie libre est définie sur des distributions de probabilité sur les causes du monde plutôt que sur des états moléculaires. Friston explique encore que les systèmes biologiques résistent à la tendance naturelle vers le désordre (l’entropie de Boltzmann) en minimisant leur énergie libre.
[11] L’idée que l’information est une entropie négative avait déjà été avancée dès 1929 par le physicien Leo Szilard (1898-1964).
[13] Voir Prévenir et soigner les troubles du spectre traumatique, épisodes n°5, 6 et 7.
[16] Pour le diagnostic des cas de TSPT simples et complexes, voir notre série Les troubles du spectre traumatique, épisode n°3.
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