Le cerveau bayésien (Episode n°14)
Application de la formule de l’Energie libre au rôle du sommeil pour la prévention du TSPT
Prenons l'exemple de quelqu'un sans anxiété particulière qui est témoin pour la 1ère fois de sa vie de la situation suivante : une personne âgée traverse à un passage clouté et est renversée par un cycliste. Un événement particulièrement « saillant » pour ce témoin. Que font le NREM et le REM, la et les nuits qui suivent le jour de cet événement, pour protéger le témoin d'un trouble anxieux secondaire, éventuellement d'un TSPT? On décrit une réaction de stress aiguë banale, qui ne devrait pas se pathologiser en profitant de la correction que la nuit – les nuits qui sui(ven)t – pourrai(en)t normalement opérer. A priori, le témoin ne présente aucune anxiété particulière ; il a vu des personnes traverser des passages cloutés sans problème des centaines de fois, comme aussi lui-même.
D’abord quelques rappels de définitions appliqués à la situation ici présentée (cf. Le cerveau bayésien, épisode n°13) :
Hypothèse de causalité z : « Traverser au passage clouté est dangereux » (D) versus « c'est sûr » (S). Dans notre hypothèse, ici hypersimplifiée (comme dans le jeu à pile ou face), z = D ou z = S.
P(z) = la croyance a priori (Prior) de la cause de l'événement, avant de l’avoir vécu. C'est l’état de croyance du témoin qui était le sien avant de vivre cet événement ; il résume simplement l'expérience de vie accumulée jusque-là par le témoin (des centaines de traversées sans incident). C’est une distribution, ici de deux probabilités, celle qu’un passage clouté soit un danger, soit P(D), le prior avant l’événement saillant, a priori très rare (posons P(D) = 0,05) et donc P(S), la probabilité complémentaire qu’un passage clouté soit sans danger (posons P(S) = 0.95). Comme il s’agit d’une probabilité complémentaire à P(D), il serait plus judicieux d’utiliser P(¬D) en lieu et place de P(S), mais nous n’allons pas le faire pour ne pas alourdir davantage le texte.
P(y) = probabilité de collision si un passage clouté est une zone de danger (D) + probabilité de collision si un passage clouté est une zone de sécurité (S) = Σ P(y|z)×P(z) = P(y|D)×P(D) + P(y|S)×P(S). Nous avons montré dans notre précédent blog (Le cerveau bayésien, épisode n°13) que cette probabilité est incalculable dans la vie réelle. Ici, pour raisons pédagogiques, nous avons raccourci artificiellement le spectre de causalité de l’événement décrit à deux possibilités.
P(y|D) = Vraisemblance de l'effet observé (l’événement saillant) y° (y=n’importe quelle traversée, y°=la traversée accidentelle). En d’autres mots, la Vraisemblance est la probabilité d’observer la donnée y° (ce que le témoin a vu) si un passage clouté est effectivement une zone de danger. Le témoin pense : « j'ai vu de mes yeux une collision réelle à un passage clouté », un « vrai positif » pour le statisticien. Alors que le témoin n’avait jamais vécu une telle expérience, la Vraisemblance, qu’il va accorder à son observation lui fera admettre que ce type d’événement a toutes les chances de représenter un grave danger. La Vraisemblance de l’observation P(y|D) est ici la probabilité conditionnelle (|) d’observer une collision si c’est vrai qu’un passage clouté serait une zone de danger. P(y|D) répond donc à la question : « quelle est la probabilité d’observer une collision si les passages cloutés sont une zone de danger ? ». C’est le modèle du « monde » que le témoins se fait après cette expérience. Posons pour lui que P(y|D) = 0,90 et par conséquent P(y|S) = 0,10. La Vraisemblance est une donnée fixe, elle ne bouge pas. Ce qui bouge, c’est la Prédiction de la valeur attendue de y qui dépend partiellement de la Vraisemblance mais aussi de la croyance courante Q(D) qui, elle, évolue / bouge (voir plus bas).
P(y°|S) ou P(y°|¬D) représente la Vraisemblance « complémentaire ». Dans ce cas, la probabilité de 10% d'observer l’événement y°, sachant qu’il n’y a pas de danger, que D est absent, c'est une spécificité (la spécificité est la probabilité des vrais négatifs, c’est-à-dire le rapport entre les vrais négatifs sur l’ensemble des négatifs, à savoir la somme des vrais négatifs et des faux positifs), comme P(y°|D) est une sensibilité (la sensibilité est la probabilité des vrais positifs, c’est-à-dire le rapport entre les vrais positifs sur l’ensemble des positifs, à savoir la somme des vrais positifs et des faux négatifs). P(y°|S) est aussi une Vraisemblance de l’observation, celle de la probabilité qu'on observerait cette donnée (la collision) si l'état de sécurité restait de mise malgré tout, toutefois une possibilité moins crédible que P(y°|D) après une telle expérience.
Si donc P(y°|D) est la probabilité d’observer la collision dans le cas où un passage clouté serait une zone de danger, ce qui intéresse au premier chef notre témoin, c’est surtout P(D|y), la probabilité qu’un passage clouté soit une zone de danger après avoir vu cette collision à laquelle il ne s’attendait pas. C’est l’information qui risque de compter pour lui dans le futur. P(D|y) est donc ce que le cerveau de notre témoin va croire une fois avoir intégré ce signal y°, toutefois sans distorsion, ni sous-réaction, ni surréaction. P(D|y) répond à la question : « maintenant que j'ai observé cette collision, quelle est ma nouvelle croyance sur le fait qu’un passage clouté est probablement une zone de danger ? ». En effet, chaque expérience de vie est susceptible de modifier une croyance. C’est la réponse à cette question dont a besoin notre témoin pour s’orienter dans le futur quand il aura de nouveau à faire à un passage clouté.
La priorité du cerveau, c’est sa sécurité. Le calcul précis de P(D|y) est le plus souvent impossible / incalculable en raison du fait que tout événement peut avoir de très multiples causes. Ici, pour des raisons pédagogiques, nous avons limité la causalité à deux possibilités mutuellement exclusives. Pour le monde « réel », toujours multi causal, nous avions expliqué la solution proposée par Friston de calculer P(z|y), dans notre exemple P(D|y°), par une approximation : Q(z) ou la croyance courante à tel ou tel moment. Mais ici, pour les raisons pédagogiques que nous venons d’évoquer, nous garderons un Q(z) superposable à P(z|y), la vraie distribution postérieure, souvent incalculable directement dans les modèles complexes du monde « réel ». La distribution approximative que le cerveau peut réellement calculer Q(z) est donc à distinguer de la distribution P(z|y). Donc, dans notre exemple, Q(z) = P(D) car D est une variable binaire simple (D ou ¬D). Le terme de Complexité (la divergence KL entre Q et P) tombe alors à zéro et l'énergie libre F devient une borne exacte (et non plus seulement une borne supérieure) de la surprise −log P(y).
Q_référence(D) est le résultat qu'aurait produit une mise à jour bayésienne idéale de P(z) face à l'observation de l’événement y°, si aucune distorsion émotionnelle n'était intervenue. Il sert de point de comparaison. Q_référence(D) est la posterior bayésien exact, que l’on calcule à partir de P(z) et de la vraisemblance P(y|D). C’est le résultat de la croyance P(z) une fois mise à jour sur l'état du monde (danger réel) après avoir été témoin de l’EPT y°. C'est ce qu'on cherche à calculer. Comme indiqué plus haut, nous gardons un Q(z) superposable à P(z|y), et donc au lieu de calculer Q(D|y) et Q(S|y), nous utilisons P(D|y) et P(S|y). Si on confondait P(z) et Q_référence(D)[1], on perdrait la possibilité même de mesurer un apprentissage. Le témoin, à l'instant où il voit l'accident, devrait nécessairement changer de croyance, passer de par exemple 0,05 à quelque chose de significativement plus élevé, parce qu'il vient justement de recevoir une information réelle et pertinente sur le monde (un accident existe, il s'est produit, « il ne l’a pas inventé », « là on n’est plus dans la théorie mais bien dans la vie réelle »). P(z) reste fixe, ancré dans le passé ; Q_référence(D) est précisément la mesure de combien cette nouvelle information devrait légitimement faire bouger la croyance de base. Pour rappel, on avait posé P(D) = 0,05 et P(S) = 0,95. Q_référence(D) est donc la valeur de la croyance nouvelle en la dangerosité d’un passage clouté du témoin de la scène qui vient d’être observée. En calculant cette valeur, on cherche à identifier où se stabiliserait sa croyance en la dangerosité d’un passage clouté via un calcul bayésien parfaitement équilibré, sans sur- ni sous-réaction.
Avant cette malencontreuse expérience, qu’elle était pour le témoin la prédiction d’accident sur un passage clouté ?
Prédiction P(y) = (P(y|D) × P(D)) + [P(y|S) × (1− P(D)]
Prédiction P(y) = (0,9 × 0,05) + [0,1 × (1− 0,05)] = 0,045 + 0,095 = 0,14 (14%).
Nous verrons que juste après cette expérience, la Prédiction va bondir (nous verrons plus loin à 70% en lien avec un Q_acute à 0,75). Toutefois, si cette expérience n’avait pas été associée à un stress intense via de fortes décharges noradrénergiques, le Q(D) n’aurait pas monté autant et se serait stabilisé à un Q_référence de 0,321. Dans ce cas, la prédiction n’aurait pas bondi à 70% comme nous allons plus loin le calculer, mais monter seulement de 14% à 35,7%. Toutefois, ce résultat est improbable car une telle expérience est toujours plus ou moins stressante.
Prédiction = (0,9 × 0,321) + [0,1 × (1− 0,321)] = 0,289 + 0,068 = 0,357 (35,7%).
La formule de Q_référence(D) découle directement du théorème de Bayes :
P(Données|Hypothèse) * P(Hypothèse)
P(Hypothèse|Données) = ‐----------------------------------------------------
P(Données)
Avec d’autres mots :
(Data|Théorie) * P(Théorie)
P(Théorie|Data) = ‐-------------------------------------------------------------------------------------
P(Data|Théorie) P(Théorie) + S P(Data|Alternative) P(Alternative)
Q_référence(D) = P(D|y) = [P(y°|D)×P(D)] / P(y°) = [P(y°|D)×P(D)] / [P(y°|D)×P(D) + P(y°|S)×P(S)]
Il faut comprendre ici S comme ¬D, c’est-à-dire D absent (pas de danger).
P(y|D)×P(D)
P(D|y) = -----------------------------------------
P(y|D)×P(D) + P(y°|¬D)×P(¬D)
Le numérateur est la probabilité conjointe de la réalité de D et d'observer y. Et le dénominateur, l’évidence P(y), est la probabilité totale d'observer y, que D soit une réalité ou non. Il se calcule en sommant les deux hypothèses possibles.
Q_référence(D) = P(D|y) = (0,9×0,05) / (0,9×0,05 + 0,1×0,95) = 0,045 / 0,14 = 0,321
Cette proportion de 0,321 est ce qu'une inférence bayésienne non biaisée produirait à partir des mêmes ingrédients objectifs : 1) le même prior (sur base de l'expérience de vie du témoin avant l'accident) et 2) la vraisemblance P(y°|D) (à quel point cet accident est un signal fiable que "les passages cloutés sont dangereux"). Q_référence(D) est la mise à jour du prior proportionnée à ce qui a été réellement vu. Il nous servira d’étalon pour comprendre l’impact sur la résilience post-EPT du sommeil paradoxal. C’est l’étalon qui nous permettra de qualifier le nouveau Q(D), soit Q_acute(D) qui apparaît au décours immédiat de l’EPT et qui nous permettra de qualifier ce dernier de « distordu » car supérieur à 0,321 qui était « normal » après avoir été témoin d’un tel événement. C’est l’écart entre la valeur du Q_acute(D) et du Q_référence(D), et non pas l’écart entre Q_acute(D) et le prior brut P(D) qui constitue la signature du surajustement.
Essayons de bien comprendre ce Q_référence(D) = 0,321 :
Q_référence(D) = 0,321 n’est pas l’état réel de la croyance du témoin à un instant donné. C’est un calcul purement contrefactuel qui répond à la question « si le cerveau faisait une mise à jour bayésienne parfaitement équilibrée – sans inférence émotionnelle – où se stabiliserait sa croyance ? Le Q_référence(D) sert d’étalon, de point de comparaison, pour mesurer ensuite l’écart avec la réaction réelle et distordue du témoin Q_acute(D).
Sur 1000 traversées de passage clouté (vécues ou observées par ce témoin au fil de sa vie), 50 seraient réellement "dangereuses" (D), 950 seraient "sûres" (S), soit donc son prior P(D) = 0,05 et son P(S) = 0.95. On a posé que la vraisemblance du modèle ou la sensibilité de la probabilité P(y|D) est de 0.90. Ainsi, sur les 50 traversées déclarées dangereuses, 45 (90%) le sont vraiment (vrais positifs). Sur les 950 traversées sûres, 10% d’entre elles auraient été déclarées dangereuses, soit 95 (faux positifs). Parmi donc les 140 passages identifiés comme dangereux (45+95), seulement 45 sur 140 l’étaient vraiment (32,1%). Ce pourcentage est la valeur prédictive positive VPP (cf. Le cerveau bayésien, épisode n°5).
Maintenant calculons l’énergie libre F = Complexité - Précision
Terme de Complexité pour l’élément D : Q_référence(D) × ln[Q(D)/P(D)]
Q_référence(D) / P(D) = 0,321/0,05 = 6,42
ln[Q_référence(D) / P(D)] = ln(6,42) = 1,859
Q_référence(D) × ln[Q_référence(D)/P(D)] = 0,321 × 1,859 = 0,5967 nats
Et le terme de Complexité pour l’élément S : Q_référence(S) × ln[Q_référence(S)/P(S)]
Comme nous avons conçu un système à seulement deux possibilités, danger (D) ou sécurité (S), alors :
Q_référence(S) = 1 − Q_référence(D) = 1 − 0,321 = 0,679
Mais vérifions quand même …
Q_référence(S) = P(S|y) = [P(y°|S)×P(S)] / [P(y°|D)×P(D) + P(y°|S)×P(S)]
Q_référence(S) = P(S|y) = (0,1×0,95) / (0,9×0,05 + 0,1×0,95) = 0,945/0,14 = 0,679
C'est cette paire (0,321 / 0,679) qui sert de référence "saine" dans le tableau du témoin, celle contre laquelle on mesurera l'écart de Q_acute (0,75/0,25) … voir plus bas.
Terme de Complexité pour l’élément S : Q_référence(S) × ln[Q(S)/P(S)]
Q_référence(S) / P(S) = 0,679/0,95 = 0,7147
ln[Q_référence(S) / P(S)] = ln(0,7147) = −0,3358
Q_référence(S) × ln[Q_référence(S) / P(S)] = 0,679 × (−0,3358) = −0,2280 nats
Maintenant nous pouvons calculer la Complexité globale :
Complexité = Q_référence(D) × ln[Q_référence(D) / P(D)] + Q_référence(S) × ln[Q_ référence(S) / P(S)] = 0,5967 + (−0,2280) = 0,369 nats
Pour calculer l’énergie libre F, nous n’avons pas seulement besoin de calculer la Complexité, mais aussi la Précision.
Terme de Précision pour l’élément D : Q_référence(D) × ln P(y|D)
ln P(y°|D) = ln(0,9) = −0,1054
Q_référence(D) × ln P(y°|D) = 0,321 × (−0,1054) = −0,0338 nats
Terme de Précision pour l’élément S : Q_référence(S) × ln P(y°|S)
ln P(y°|S) = ln(0,1) = −2,3026
Q_référence(S) × ln P(y°|S) = 0,679 × (−2,3026) = −1,5635 nats
Précision = Q_référence(D) × ln P(y°|D) + Q_référence(S) × ln P(y°|S) = −0,0338 + (−1,5635) = −1,598 nats
Et maintenant le calcul de F :
F_optimal = Complexité − Précision = 0,369 − (−1,598) = 1,967 nats
Première étape : l'encodage du jour même.
Le témoin de l’événement saillant n'est pas la victime et n’a pas non plus d’antécédent traumatique. Toutefois, sa surprise est telle que son système nerveux sympathique va s’activer et engager directement une forte libération de noradrénaline (NA) à partir du locus coeruleus (LC) du tronc cérébral. En raison de cette stimulation noradrénergique, le témoin encode l’événement avec une précision distordue. Mais n’importe qui aurait fait globalement pareil. On peut s’attendre à le voir subir une hypervigilance transitoire, une possible réactivité de sursaut et éventuellement quelques ruminations dans les heures, voire les jours qui suivent, mais rien de franchement anormal.
Posons Q_acute(D) = 0,75 ; Q_acute(S) = 0,25. L’encodage sous forte stimulation noradrénergique éloigne fortement Q_acute(D) de Q_référence(D). C'est cet écart-là – 0,75 contre 0,321 – qui constitue la signature du surajustement. Q_acute(D) = 0,75 est ce qui doit se passer effectivement dans le cerveau du témoin au moment de l'encodage, parce que la stimulation noradrénergique suscitée par la scène traumatique surpondère le terme de Précision au-delà de ce que l'évidence justifierait pour un événement simplement « saillant » (l'optimal bayésien). Q_acute est donc la croyance distordue par l'observation de l'accident. Le cerveau ne fait pas une inférence froide et calibrée, il est chauffé par le système d'alerte, qui pousse la croyance bien plus loin que ne le voudrait la seule force de l'observation (Q_référence(D)). C'est précisément la distance entre ces deux quantités (0,75 contre 0,321) qui constitue, dans notre modèle, la définition statistique de ce qui rend un événement « saillant » en un événement "à potentiel traumatique" (EPT). Et c'est cette même distance que le sommeil a pour tâche de résorber. Q_acute n'est pas en soi pathologique. C'est une réaction aiguë normale, universelle, attendue face à un événement saillant, présentant toutefois un risque de transformation en EPT selon les circonstances et la capacité de résilience du sujet. Ce qui distingue l'EPT qui se résout de l'EPT qui bascule en TSPT, c'est uniquement la trajectoire ultérieure : est-ce que le sommeil (et les nouvelles données de la vie éveillée) parvient à faire converger Q_acute vers Q_référence, ou est-ce que cette convergence est empêchée ?
L'idée de la divergence KL (Kullback-Leibler) est de mesurer à quel point la nouvelle croyance Q_acute(D) s'est éloignée de l'ancienne croyance (cf. CB n°13). Si Q_acute(D) est beaucoup plus grand que P(D) (par exemple 0,75 contre 0,05), le rapport Q(D)/P(D) explose. C'est le signal que la croyance au "danger" a fortement grimpé par rapport à ce qu'elle était avant. On verra qu’il diminue normalement après une ou plusieurs bonnes nuits.
Terme de Complexité pour l’élément D : Q_acute(D) × ln[Q_acute(D) / P(D)]
Q_acute(D) / P(D) = 0,75/0,05 = 15ln[Q_acute(D) / P(D)] = ln(15) = 2,708
Q_acute(D) × ln[Q_acute(D) / P(D)] = 0,75 × 2,708 = 2,031 nats
La vraisemblance P(y|D)=0,9 ne bouge pas, mais la Prédiction d’accident que le témoin génère avant de traverser un nouveau passage clouté ou d’observer quelqu’un le faire change nuit après nuit à mesure que Q(D) va évoluer. Dès après l’incident, sous Q_acute élevé, le témoin "prédit" inconsciemment un danger particulièrement élevé à chaque traversée. Si le sommeil joue bien son rôle, la Prédiction du danger sera progressivement décroissante. Chaque traversée sans incident produit alors une erreur de prédiction de plus en plus petite, toutefois l’effet est décroissant car le système "apprend" de moins en moins à chaque nouvelle traversée, parce que ses prédictions sont déjà meilleures. La Vraisemblance est ainsi un élément fixe du modèle, alors que la Prédiction est un élément dynamique.
Prédiction juste après l’EPT = [P(y|D) × Q_acute(D)] + [P(y|S) × (1− Q_acute(D)]
Prédiction = (0,9 × 0,75) + [0,1 × (1− 0,75)] = 0,675 + 0,025 = 0,70 (70%).
Concrètement, cette valeur de 0,70 veut dire que dès après avoir vu l’accident, le témoin s'attend (inconsciemment) à ce qu'il y ait 70% de chances qu'un signal de danger se manifeste à la prochaine traversée de passage clouté, une prédiction très élevée par rapport à sa réalité de base (14% avant l'accident), reflétant l'hypervigilance acquise dès le jour même.
Terme de Complexité pour l’élément S : Q_acute(S) × ln[Q_acute(S) / P(S)]
Q_acute(S) / P(S) = 0,25/0,95 = 0,2632
ln[Q_acute(S) / P(S)] = ln(0,2632) = −1,335
Q_acute(S) × ln[Q_acute(S) / P(S)] = 0,25 × (−1,335) = −0,334 nats
Nous pouvons maintenant calculer la complexité au moment acute :
Complexité = Q_acute(D) × ln[Q_acute(D) /P(D)] + Q_acute(S) × ln[Q_acute(S) / P(S)] = 2,031 + (−0,334) = 1,697 nats
Terme de Précision pour l’élément D : Q_acute(D) × ln P(y°|D)
ln P(y°|D) = ln(0,9) = −0,1054
Q_acute(D) × ln P(y°|D) = 0,75 × (−0,1054) = −0,0790 nats
Terme de Précision pour l’élément S : Q_acute(S) × ln P(y°|S)
ln P(y°|S) = ln(0,1) = −2,3026
Q_acute(S) × ln P(y°|S) = 0,25 × (−2,3026) = −0,5756 nats
Précision = Q_acute(D) × ln P(y°|D) + Q_acute(S) × ln P(y°|S) = −0,0790 + (−0,5756) = −0,655 nats
F_acute = Complexité − Précision = 1,697 − (−0,655) = 2,352 nats
La croyance aiguë Q_acute(D) "explique" légèrement moins bien la donnée y°(précision −0,655 contre −1,598 pour l'optimal ; moins négatif, donc moins bonne précision), mais surtout elle s'écarte massivement plus du prior (1,697 contre 0,369). C'est surtout ce déséquilibre qui fait grimper F. Le surcoût initial vient presque entièrement de la Complexité, très peu de la Précision.
Seconde étape 2 : le NREM commence la généralisation et le REM desserre l'ancrage.
Il y a deux objets sur lesquels la nuit peut agir : la croyance courante ajustable Q et le prior P, la cible vers laquelle Q est attirée. Le NREM et le REM n’agissent pas sur les mêmes éléments. Au réveil, l'événement reste en mémoire, sans doute encore un peu chargé émotionnellement, mais moins envahissant que la veille.
Dans les cycles de sommeil, le NREM précède le REM. Le NREM rejoue la trace de l'accident aux côtés des centaines de traversées neutres / non saillantes déjà stockées et révise le prior à la hausse car le témoin a bien intégré que le monde est un peu moins sûr qu'il ne le croyait. Il compare la trace de l’incident aux traces laissées par les centaines de traversées neutres déjà stockées pour en tirer un nouveau prior P', plus informé, sans toucher à Q lui-même. Le NREM n’a pas d’action sur Q, contrairement au REM (voir plus bas). Il y a comparaison des candidats P' à P sur la base des traces rejouées, sans qu'aucune donnée sensorielle fraîche n'entre en jeu cette première journée. L'essentiel du travail du NREM, c'est de déplacer la croyance. Disons, pour donner un ordre de grandeur illustratif : le NREM de début de nuit fait passer le prior de référence de P(D)=0,05 vers un P'(D)≈0,15, une valeur plus élevée que le prior naïf (0,05). Le prior naïf est de croire que les cyclistes respectent la priorité des piétons sur les passages cloutés, à l’instar aujourd’hui de la grande majorité des automobilistes.
Le REM devient dominant après chaque phase de NREM. Il permet d’opérer un déplacement de Q, mais pas de P contrairement au NREM, comme nous venons de le mentionner. Pendant le REM, la fermeture (le gating) thalamique fait chuter la Précision vers zéro. En effet, à ce moment spécifique du sommeil les données sensorielles externes sont hors circuit. F se réduit alors à peu près à la seule Complexité. Q est alors tiré vers le prior disponible mis à jour (P’=0,15), mais une nuit ne fait qu’une réduction partielle, faisant par exemple descendre de moitié Q=0,75 à Q=0,45.
Si le REM de cette première nuit n'opère qu'une correction partielle, disons qu'il ramène Q environ à mi-chemin (0,5) entre Q_acute(D) (=0,75) et P'(D) (=0,15) & P'(S) (=0,85). En fin de 1ère nuit on obtient alors pour Q_nuit1(D) :
Q_nuit1(D) = 0,75 − 0,5×(0,75−0,15) = 0,45
Il y a d’abord révision du prior P par le NREM le faisant passer de P=0,05 à P’=0,15, puis relaxation de Q vers ce nouveau prior par le REM. On dit que P glisse en P’.
Les priors ajustés P’(D)=0,15 ; P’(S)=0,85 ; les vraisemblances ne changent pas : P(y°|D)=0,9 ; P(y°|S)=0,1.
Q_nuit1(D) = 0,45 ; Q_acute(S) = 0,55 (= les valeurs posées après la 1ère nuit grâce à l’action du REM qui a desserré l’ancrage produit dans la journée suite à l’EPT).
Le lendemain matin de la 1ère nuit, si le sommeil a pu jouer son rôle de résilience, la Prédiction d’accident aux passages cloutés va évoluer dans le bon sens.
Prédiction juste après la 1ère nuit post EPT = [P(y|D) × Q_nuit1(D)] + [P(y|S) × (1− Q_nuit1(D)]
Prédiction = (0,9 × 0,45) + [0,1 × (1− 0,45)] = 0,405 + 0,055 = 0,46 (46%).
Par rapport à la Prédiction au décours immédiat de l’EPT (70%), cette nouvelle Prédiction de 46%, reflète un début de diminution de l'hypervigilance aux passages coutés.
Calculons maintenant l’énergie libre F = Complexité - Précision
Terme de Complexité pour l’élément D : Q_nuit1(D) × ln[Q_nuit1(D) / P’(D)]
Q_nuit1(D) / P’(D) = 0,45/0,15 = 3
ln[Q_nuit1(D) / P’(D)] = ln(3) = 1,0986
Q_nuit1(D) × ln[Q_nuit1(D) / P’(D)] = 0,45 × 1,0986 = 0,4944 nats
Terme de Complexité pour l’élément S : Q_nuit1(S) × ln[Q_nuit1(S) / P(S)]
Q_nuit1(S) / P’(S) = 0,55/0,85 = 0,6471
ln[Q_nuit1(S) / P’(S)] = ln(0, 6471) = −0,4353
Q_nuit1(S) × ln[Q_nuit1(S) / P’(S)] = 0,55 × (−0,4353) = −0,2394 nat
Complexité = Q_nuit1(D) × ln[Q_nuit1(D) /P’(D)] + Q_nuit1(S) × ln[Q_nuit1(S) / P(‘S)] = 0,4944 + (−0,2394) = 0,255 nats
Terme de Précision pour l’élément D : Q_nuit1(D) × ln P(y°|D)
ln P(y°|D) = ln(0,9) = −0,1054
Q_nuit1(D) × ln P(y°|D) = 0,45 × (−0,1054) = −0,0474 nats
Terme de Précision pour l’élément S : Q_nuit1(D) × ln P(y°|S)
ln P(y°|S) = ln(0,1) = −2,3026Q_nuit1(S) × ln P(y°|S) = 0,55 × (−2,3026) = −1,2664 nats
Précision = Q_nuit1(D) × ln P(y°|D) + Q_nuit1(S) × ln P(y°|S) = −0, 0474 + (−1, 2664) = −1,314 nats
F_nuit1 = Complexité − Précision = 0,255 − (−1,314) = 1,569 nats
Troisième étape : sur base de nouvelles données réelles vécues en journée, le sommeil approfondit son action résiliente.
Dans les jours qui suivent la première nuit post-incident et si notre témoin continue de traverser des passages cloutés sans les éviter, chacune de ces nouvelles traversées sans incident offre une nouvelle donnée qui vient nourrir le NREM des nuits suivantes. Là est la condition-clé de la résilience post-EPT car rien dans le sommeil seul ne suffirait si le témoin, en évitant les passages cloutés, arrêtait de fournir ce flux de contre-exemples vécus. Pour le témoin, le souvenir de l'accident reste accessible et racontable, mais sans détresse disproportionnée à l'évocation. Son attention aux cyclistes est un peu plus vive qu'avant, mais sans renoncer aux traversées sur les passages cloutés.
La première nuit qui suit l’EPT avait sa propre logique (un seul événement, pas encore de nouvelles données), les nuits suivantes changent la donne parce qu'un ingrédient nouveau apparaît : les journées entre les nuits ne sont plus vides, elles apportent des nouvelles observations, comme des traversées de passages cloutés sans incident. Ça change ce que le NREM et le REM ont concrètement à traiter. C'est le second point clé qui distingue ce cas du TSPT bloqué par un prior bétonné, le témoin non affecté d’un TSPT continue à vivre, traverse des passages cloutés tous les jours, ce qu’il ne ferait pas s’il était malade. Ainsi, des données nouvelles viennent, jour après jour et nuit après nuit, alimenter à nouveau le cycle veille (encodage) / NREM (ajustement du prior) / REM (assouplissement).
Contrairement à la première nuit post-EPT, où le NREM ne disposait que des traces de l'accident du jour, ainsi que d’autres antérieures à cet EPT en lien avec de nombreuses traversées de passages cloutiers. Contrairement à cette première nuit, les nuits 2 à 4 et les suivantes sont précédées de journées où le témoin vit lui-même de nouvelles traversées sans incident. Chacune de ces journées produit, à la fois une mise à jour, pendant l'éveil, à chaque nouvelle traversée neutre, soit un petit ajustement bayésien immédiat sur Q, sous une précision non distordue cette fois (pas d'arousal noradrénergique associé), ainsi que de nouvelles traces, encore labiles, à consolider dans les nuits suivantes.
Pendant les nuits qui suivent, le NREM consolide un stock de traces grandissant, ce qui permet une amélioration du rapport traces-neutres/trace-traumatique. La 1ère nuit, le NREM confronte la trace choquante du jour et les traces anciennes déjà "diluées" par le temps. Les nuits suivantes, la confrontation opère entre la même trace choquante et les nouvelles traces neutres qui pèsent proportionnellement plus lourd que les anciennes qui se "diluent" progressivement.
Ces informations globalement sécures dans les jours qui suivent la première nuit nous permettent de réévaluer plusieurs probabilités. Même si les passages cloutés sont réellement dangereux (que D serait vrai), parce que les cyclistes sont inattentifs ou irrespectueux du code de la route, un piéton renversé reste un événement rare. Même donc si D est vraie, une traversée sans incident est associée à une probabilité élevée. Estimons cette probabilité à P(y_safe|D) = 0,85. Cette probabilité signifie que si l’on considère que les passages cloutés ne sont pas sans risque, alors on estime ce risque à P(y_risky|D) = 0,15. Si, au contraire, le témoin considère, malgré sa malheureuse récente expérience, que les passages cloutés sont globalement « safe » (que S serait vrai) sur base de sa longue expérience antérieure, alors une traversée sans incident sera associée à une probabilité nettement plus élevée : P(y_safe|S) = 0,99 et P(y_risky|S) = 0,01. une traversée sans problème reste l'issue la plus probable sous les deux hypothèse D et S. Le choix de 0,99 plutôt qu’exactement 1 reflète le fait qu'aucun environnement n'est parfaitement sûr à 100%. Le point clé, c'est le rapport entre ces deux valeurs (0,85 vs 0,99). Ce rapport est volontairement beaucoup moins discriminant que celui de la vraisemblance de l'accident lui-même (P(y°|D) = 0,90 vs P(y°|S) = 0,10, un rapport de 9. Ici le rapport est de 0,85/0,99 ≈ 0,86, presque 10 fois moins. En effet, une traversée sans problème est un signal faible, presque non informatif, en faveur de S, exactement l'inverse de l'accident, qui était un signal fortement discriminant en faveur de D. C'est cette asymétrie qui reproduit numériquement l'idée qu'il faut l'accumulation de plusieurs traversées neutres pour contrebalancer un seul événement saillant.
Concernant les termes de F, le NREM continue d'agir sur la cible P, mais chaque nuit, le déplacement de P' vers une valeur plus basse P'' devient plus facile, parce que l'évidence en faveur d’un environnement sécure S monte en puissance. Considérons qu’à partir de la seconde nuit et des suivantes, P'=0,15 passe à P'' ≈ 0,10. Concernant le REM, il continue à produire la même chose, relâcher Q pour le rapprocher du P' du moment. Mais comme Q est déjà plus proche de P' au départ de chaque nuit (grâce au travail de la nuit précédente) et que P' lui-même s'est déjà rapproché de la valeur qui lui serait normalement accessible, il y a déjà simplement moins de chemin à parcourir pour atteindre P''. C'est pour ça que dans notre tableau de Q, la chute est spectaculaire entre le Q_acute (0,75) et le Q_nuit1 (0,45), un demi-écart comblé en une seule nuit, puis plus progressivement pour atteindre Q_nuit2à4 (0,20) comme nous allons le voir plus bas. Ce n'est donc pas que le REM "travaille moins bien", c'est qu'il a de moins en moins de complexité résiduelle à élaguer à mesure que la cible et le point de départ se rapprochent l'un de l'autre.
Si le REM de ces 3 prochaines nuits opère une correction complémentaire, disons qu'il ramène Q environ à 70% du chemin (0,70), on obtient alors pour Q_nuit2à4(D) :
Q_nuit2à4(D) = 0,45 – 0,7×(0,45-0,10) = 0.20
Reprenons donc maintenant la même méthode avec un Q_nuit2à4(D) à 0,20 et donc un Q_nuit2à4(S) à 0,80. Les priors ont encore glissés de P’(D)=0.15 à P''(D)=0,10 ; P''(S)=0,90 ; les Vraisemblances ne changent pas : P(y|D)=0,9 ; P(y|S)=0,1.
Ainsi, Q_nuit2à4(D) = 0,20 et Q_ nuit2à4(S) = 0,80.
Après 3 nuits supplémentaires et si le sommeil reste bien efficace, la Prédiction d’accident aux passages cloutés va encore positivement évoluer.
Prédiction juste après la 1ère nuit post EPT = [P(y|D) × Q_nuit2à4(D)] + [P(y|S) × (1−Q_ nuit2à4(D)]
Prédiction = (0,9 × 0,20) + [0,1 × (1− 0,20)] = 0,18 + 0,08 = 0,26 (26%).
Par rapport à la Prédiction au décours immédiat de l’EPT (70%), cette nouvelle Prédiction de 26%, reflète une diminution plus nette encore de l'hypervigilance aux passages coutés. On est déjà plus très loin des 14% antérieurs à l’EPT.
Terme de Complexité pour l’élément D : Q_nuit2à4(D) × ln[Q_nuit2à4(D) / P''(D)]
Q_nuit2à4(D) / P''(D) = 0,20/0,10 = 2
ln[Q_nuit2à4(D) / P''(D)] = ln(2) = 0,6931
Q_nuit2à4(D) × ln[Q_nuit2à4(D) / P''(D)] = 0,20 × 0,6931 = 0,1383 nats
Terme de Complexité pour l’élément S : Q_nuit2à4(S) × ln[Q_nuit2à4(S) / P''(S)]
Q_nuit2à4(S) / P''(S) = 0,80/0,90 = 0,8889
ln[Q_nuit2à4(S) / P''(S)] = ln(0, 8889) = −0,1178
Q_nuit2à4(S) × ln[Q_nuit2à4(S) / P''(S)] = 0,80 × (−0, 1178) = −0,0942 nats
Complexité = Q_nuit2à4(D) × ln[Q_nuit2à4(D) /P''(D)] + Q_nuit2à4(S) × ln[Q_nuit2à4(S) / P''(S)] = 0,1383 + (−0,0942) = 0,044 nats
Pour cette période de mesure, plusieurs nuits, le terme de Précision pour l’élément D se formule ainsi :
Précision = Q_nuit2à4(D) × moy ln P(y|D)
Jour 1 : ln P(y°|D) = ln(0,9) = −0,1054
Jour 2 : ln P(y_safe|D) = ln(0,85) = -0,1625
Jour 3 : ln P(y_safe|D) = ln(0,85) = -0,1625
Jour 4 : ln P(y_safe|D) = ln(0,85) = -0,1625
Moyenne : -0,1482
Q_nuit2à4(D) × moy ln P(y|D) = 0,20 × (−0,1482) = −0,0296 nats
Et le terme de Précision pour l’élément S :
Précision = Q_nuit2à4(S) × moy ln P(y|S)
Jour 1 : ln P(y°|S) = ln(0,1) = −2,3026
Jour 2 : ln P(y_safe|S) = ln(0,99) = -0,0101
Jour 3 : ln P(y_safe|S) = ln(0,99) = -0,0101
Jour 4 : ln P(y_safe|S) = ln(0,99) = -0,0101
Moyenne : -0,5831
Q_nuit2à4(S) × moy ln P(y|S) = 0,80 × (-0,5831) = −0,4666 nats
Précision = Q_nuit2à4(D) × moy ln P(y|D) + Q_nuit2à4(S) × moy ln P(y|S) = −0,0296 + (−0,4666) = −0,496 nats
F_acute = Complexité − Précision = 0,044 − (−0,496) = 0,540 nats
Quatrième étape : le sommeil fait le tri entre ce que le cerveau a intérêt à garder de l’expérience et ce qu’il peut abandonner.
Les priors sont encore légèrement réajustés par la révision du NREM : P'''(D)=0,09 & P'''(S)=0,91 (Un P'''(D) à 0,09 signifie une baisse de 0,01 seulement, contre 0,05 dans l’étape précédente. La logique du NREM est que chaque nuit supplémentaire apporte de moins en moins d'information marginale, parce que les nouvelles traversées sans encombre deviennent de plus en plus redondantes avec ce qui est déjà intégré, ce qui ralenti la baisse progressive du réajustement du prior.
Les vraisemblances ne changent pas : P(y|D)=0,9 ; P(y|S)=0,1.
Q_nuit5à7(D) = 0,20 – 0,80×(0,20-0,10) = 0,12
Ainsi, Q_nuit5à7(D) = 0,12 et Q_nuit5à7(S) = 0,88.
Après maintenant 6 nuits après l’EPT et bien sûr pour autant que le sommeil soit resté efficace, la Prédiction d’accident aux passages cloutés va encore évoluer davantage dans le bon sens.
Prédiction = [P(y|D) × Q_nuit5à7(D)] + [P(y|S) × (1−Q_nuit5à7(D)]
Prédiction = (0,9 × 0,12) + [0,1 × (1− 0,12)] = 0,108 + 0,088 = 0,196 (19,6%).
Cette nouvelle Prédiction de 19.6% se rapproche encore un peu plus de celle des 14% antérieure à l’EPT, toutefois supérieure, car l’événement observé a été particulièrement saillant pour le témoin qui n’est pas près de l’oublier.
Terme de Complexité pour l’élément D : Q_nuit5à7(D) × ln[Q_nuit5à7(D) / P'''(D)]
Terme de Complexité pour l’élément D : Q_nuit5à7(D) × ln[Q_nuit5à7(D) / P'''(D)]
Q_nuit5à7(D) / P'''(D) = 0,12/0,09 = 1,333
ln[Q_nuit5à7(D) = ln(2,6) = 0,288
Q_nuit5à7(D) × ln[Q_nuit5à7(D) / P'''(D)] = 0,12 × 0,288 = 0,035 nats
Terme de Complexité pour l’élément S : Q_nuit5à7(S) × ln[Q_nuit5à7(S) / P'''(S)]
Q_nuit5à7(S) / P'''(S) = 0,88/0,91 = 0,967
ln[Q_nuit5à7(S) = ln(0,967) = - 0,0336
Q_nuit5à7(S) × ln[Q_nuit5à7(S) / P'''(S)] = 0,88 × (- 0,0336) = -0,030 nats
Complexité = Q_nuit5à7(D) × ln[Q_nuit5à7(D) / P'''(D)] + Q_nuit5à7(S) × ln[Q_nuit5à7(S) / P'''(S)] = 0,035 + (-0,030) = 0,005 nats
Pour cette période de mesure, 3 nouvelles nuits, le terme de Précision pour l’élément D se formule ainsi :
Précision = Q_nuit5à7(D) × moy ln P(y|D)
Jour 1 : ln P(y°|D) = ln(0,9) = −0,1054
Jour 2 : ln P(y_safe|D) = ln(0,85) = -0,1625
Jour 3 : ln P(y_safe|D) = ln(0,85) = -0,1625
Jour 4 : ln P(y_safe|D) = ln(0,85) = -0,1625
Jour 5 : ln P(y_safe|D) = ln(0,88) = -0,1278
Jour 6 : ln P(y_safe|D) = ln(0,88) = -0,1278
Jour 7 : ln P(y_safe|D) = ln(0,88) = -0,1278
Moyenne : -0,1395
Précision = Q_nuit5à7(D) × moy ln P(y|D) = 0,12 × -0,1395 = -0,0167 nats
Précision = Q_nuit5à7(S) × moy ln P(y|S)
Jour 1 : ln P(y°|S) = ln(0,1) = −2,3026
Jour 2 : ln P(y_safe|S) = ln(0,99) = -0,0101
Jour 3 : ln P(y_safe|D) = ln(0,99) = -0,0101
Jour 4 : ln P(y_safe|D) = ln(0,99) = -0,0101
Jour 5 : ln P(y_safe|D) = ln(0,99) = -0,0101
Jour 6 : ln P(y_safe|D) = ln(0,99) = -0,0101
Jour 7 : ln P(y_safe|D) = ln(0,99) = -0,0101
Moyenne : -0,3376
Q_nuit5à7(S) × moy ln P(y|S) = 0,88 × (-0,3376) = −0,2971 nats
Précision = Q_nuit5à7(D) × moy ln P(y|D) + Q_nuit2à4(S) × moy ln P(y|S) = −0,0167 + (−0,297) = −0,314 nats
F_acute = Complexité − Précision = 0,005 − (−0,314) = 0,319 nat
Tableau résumé des étapes du processus de résilience
Phase | Q(D)/Q(S) | E_Q[y] | P' utilisé | P(y_safe|D) | Complexité | Exactitude | F' |
Avant EPT |
| 0,14 |
|
|
|
|
|
Référence |
| 0,357 |
|
| 0,369 | −1,598 | 1,967 |
Jour 1 | 0,75/0,25 | 0,70 | 0,05/0,95 | P(y°|D) = 0,90 (seule y₀, l'accident) | 1,697 | −0,655 | 2,352 |
Nuit 1 | 0,45/0,55 | 0,46 | 0,15/0,85 | P(y°|D) = 0,90 (0 traversées) | 0,255 | −1,314 | 1,569 |
Nuits 2-4 | 0,20/0,80 | 0,26 | 0,10/0,90 | 0,85 (3 traversées, jours 1-3) | 0,044 | −0,496 | 0,540 |
Nuits 5-7 | 0,12/0,88 | 0,196 | 0,09/0,91 | 0,85 (jours 1-3) et 0,88 (jours 4-6) | 0,005 | −0,314 | 0,319 |
E_Q[y] = prédiction | |||||||
Notes :
[1] On pourra trouver dans mes textes ultérieurs comme dans ceux d’autres auteurs qui publient en anglais Q_optimal en lieu et place de Q_référence, ces deux concepts sont synonymes.
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